半径aの円に内接する正n角形(n≧4)があるとします。このときのn角形の対角線の長さを教えてください。どうぞよろしくお願い致します。ちなみにn=4のときは2aかな?

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回答(6件)

id:stealthinu No.1

stealthinu回答回数55ベストアンサー獲得回数12004/04/22 09:43:24

ポイント15pt

nにかかわらず常に2aでは??

id:miku1973

ちがうと思います。対角線は必ず中心を通るとは限らないからです。

2004/04/22 10:05:33
id:aki73ix No.2

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/04/22 09:46:53

ポイント15pt

余弦定理を使えば簡単

x^2=a^2-a^2cosA

つまり x=a(1-√cos(2kπ/n))

ただし n/2>=k>2

6角形なら対角線は3本2種類なので

id:miku1973

確かに一意には決まらないですね。言われてみればその通り。

2004/04/22 10:06:27
id:terasake No.3

terasake回答回数26ベストアンサー獲得回数02004/04/22 09:54:03

ポイント15pt

http://www.hatena.ne.jp/1082594054

半径aの円に内接する正n角形(n≧4)があるとします。このときのn角形の対角線の長さを教えてください。どうぞよろしくお願い致します。ちなみにn=4のときは2aかな?.. - 人力検索はてな

●対角線にもいろいろありますよね。たとえば2つ隣りの頂点に向かって引くのか、3つ隣りなのかで長さが違います。

●「一番長い対角線」ということであれば、nが偶数と奇数で表し方が変わります。奇数の場合は、「余弦定理」を用いるのが早いでしょうが、この定理を用いてよいか(=あなたの知識レベルがどれくらいか)どうかで解答が変わるでしょう。

●n=8,10,12…の場合で試してみましたか?偶数ではみんな2aになりませんか?

id:miku1973

余弦定理はわかります。nが奇数の場合で最も長い対角線はどのようになるでしょう?ありがとです。

2004/04/22 10:07:57
id:aki73ix No.4

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/04/22 10:17:48

ポイント15pt

URLはダミーです

対角線が奇数で最も長いものを求めるときは2の回答をk=(n-1)/2として計算します

id:miku1973

ありがとう。すいません!!!!正n角形の対角線の「平均の長さ」って出せるかしら?方向性変わってごめんなさいn=2〜10でよいです。どうぞよろしくお願い致します。

2004/04/22 10:36:24
id:terasake No.5

terasake回答回数26ベストアンサー獲得回数02004/04/22 10:23:03

ポイント15pt

http://www.kawai-juku.ac.jp/

河合塾ホーム(総合教育機関・予備校・大学受験)

URLはダミーです

nが奇数の場合は、対角線の長さをxとすると、余弦定理より

x^2=a^2+a^2-2a^2*cos((n-1)/n)π

ですね。

id:miku1973

ありがとう。すいません!!!!正n角形の対角線の「平均の長さ」って出せるかしら?方向性変わってごめんなさいn=2〜10でよいです。どうぞよろしくお願い致します。

2004/04/22 10:36:35
id:Unknown No.6

Unknown回答回数8ベストアンサー獲得回数02004/04/22 10:33:36

ポイント15pt

URLはダミーです。

一般式を考えてみました。間違っていたら申し訳ありません。

隣り合わない頂点2つと中心からなる3角形は長さaの二等辺三角形になります。その時の頂角がわかれば残りの辺が余弦定理で求められます。頂角は隣り合わない頂点から辺を辿って「いくつ点を経由」したかで決まります。間にある頂点数をpとおくと、二等辺三角形の頂角は(360°/n)*(p+1)となります。この値をθとして2番の回答で挙げられた余弦定理を用いれば求められるかと思います。

試しに正四角形の対角線の場合、間を1点またぐわけですから、頂角は (360°/4)*2 = 180°(直線) となります。したがってx = 2a となります。

ちなみに奇数角の対角線の最大値は2で割って切り上げ、または切り捨てた整数でよい気がします。5角形なら2か3になるので、ある頂点から2番目か3番目との距離が最大値になると思います。17角形なら8か9ですね。

絵無しでの説明、申し訳ありません…。言葉だけではなかなか難しいですね。

id:miku1973

ありがとう!熟読します。素晴らしいです。

2004/04/22 10:40:36

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