半径aの円に内接する正四角形、正五角形、・・・、正十角形があります。それぞれの多角形には対角線が複数本あり、また正六角形以上は対角線の長さも2種類以上あります。さて、それぞれの多角形における対角線の長さを教えてください。同じ多角形でも複数の長さのものが混在している場合は、それぞれの長さを教えてください。aを使った文字式でお願いします。どうぞよろしくお願い致します。(昨日似た様な質問をさせていただきましたが、再度お願いします。本当はじっくり考えてみたいのですが、他の仕事と掛け持ちで考えていまして・・・)

回答の条件
  • URL必須
  • 1人2回まで
  • 登録:2004/04/23 00:26:59
  • 終了:--

回答(12件)

id:nesty No.1

nesty回答回数55ベストアンサー獲得回数02004/04/23 20:30:04

ポイント10pt

http://shopping.yahoo.com/

Yahoo! Shopping - Online Shopping with great products, prices and reviews

対角線の数を計算しました。

n角形の対角線の数は、n*(n-3)/2本となり、種類ごとに分けると1種類あたりn/2本(円の中心を通るもの)またはn*2/2本(それ以外)となります。

以上から、短い順に

6角形:6,3の計9

7角形:7,7の計14

8角形:8,8,4の計20

9角形:9,9,9の計27

10角形:10,10,10,5の計35

となります。

id:Wutugu0276 No.2

Wutugu0276回答回数99ベストアンサー獲得回数22004/04/24 02:15:00

ポイント10pt

追加で解答します。

対角線の長さの種類は

n/2種類(nが偶数の時)

(n-1)/2種類(nが奇数の時)

となります。

正n角形の頂点をそれぞれ区別する場合、全種類の対角線はn本存在します。

(一つの頂点を選び、そこから左回りに一定の個数進んだ頂点と対角線を結ぶことを考えると理解が可能です)

id:crowdeer No.3

烏鹿(うろく)回答回数132ベストアンサー獲得回数12004/04/24 02:26:39

ポイント10pt

URLはダミーです。

他の方が長さの方を出されたようですので、その追加質問の方を回答させて頂きます。

簡単に言うと、正n角形の対角線の各種類における本数は

n=偶数:(n/2)本、n本、n本......

n=奇数:n本、n本、n本......

となります。

まず各頂点から出る対角線の数ですが、これはnから”隣り合う頂点の数”と1を引いた数になります。

隣り合う頂点との線は『辺』ですし、1引いたのは基準として見ている頂点そのものをあわらしています。

つまり各頂点から(n-3)本の対角線が出ているわけです。

閑話休題。

n=偶数ではまずその正n角形を真っ二つに分断する線(円の中心を通る線)が一番長い線になります。

その数は各頂点から1本づつ。線は頂点と頂点を結ぶわけですから(n*1)/2=(n/2)本になります。

その次に長い線はというと、”円の中心から見て180度逆にある頂点の隣の点”と結んだ線になります。

これは各頂点から2本づつ出ていますので総数は(n*2)/2=n本という事になります。

それ以降は各頂点から同じ距離を持つ対角線は2本づつありますのでその総数はn本という事で収まります。

また、n=奇数では一番長い線は円の中心から点対称を取った時に一番近い頂点と結んだ線です。

この線は各頂点から2本づつ出ています。ですので総数はn本になります。

これ以降は偶数時と同じ考えになります。(n本)

nestyさんの回答の訂正になりますが、

nestyさんの回答では

『nが偶数のとき(n-2)/2種類、nが奇数のとき(n-1)/2種類あります。』

とありますが、正しくは

『正n角形の対角線の種類は偶数では(n-2)/2種類、奇数では(n-3)/2種類です。』

そうでないと正3角形で対角線が1種類ある事になりますよね?(笑)

id:YUYUKOALA No.4

YUYUKOALA回答回数72ベストアンサー獲得回数02004/04/24 11:55:24

ポイント10pt

正n角形の対角線は

(1)nが偶数のときは(n-2)/2種類あり、

それぞれの本数は

・最も長いものがn/2本,

・残りは各々n本

となります。

(2)nが奇数のときは(n-1)/2種類あり、

それぞれの本数はすべてn本となります。

これとこれまでの回答と併せてみると

求める回答になると思います。

id:ryokuma No.5

ryokuma回答回数34ベストアンサー獲得回数02004/04/26 13:43:21

ポイント10pt

URLはダミーです。

長さの種類はnestyさんの解答どうりで

Excel的に書きますと Int(n/2)-1 種類ですね。

で本数は、nが偶数なら、最長のものが1本で他はそれぞれ2本ずつ、nが奇数ならそれぞれ2本ずつですね。

id:quamale No.6

quamale回答回数8ベストアンサー獲得回数02004/04/27 14:03:27

ポイント10pt

http://www.hatena.ne.jp/1082647619

半径aの円に内接する正四角形、正五角形、・・・、正十角形があります。それぞれの多角形には対角線が複数本あり、また正六角形以上は対角線の長さも2種類以上あります。.. - 人力検索はてな

ひとつの頂点から引ける対角線の数を答えます。

2n角形(n>=2)のとき (n-2)*2+1 本 (n-2)+1種類(すなわちn-1種類)

2n+1角形(n>=2)のとき (n-1)*2 本 n-1種類

ではないでしょうか。

id:aki73ix No.7

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/04/23 00:52:37

ポイント15pt

http://www.hatena.ne.jp/1082594054

半径aの円に内接する正n角形(n≧4)があるとします。このときのn角形の対角線の長さを教えてください。どうぞよろしくお願い致します。ちなみにn=4のときは2aかな?.. - 人力検索はてな

さっきの説明より

4:a{1-cos(4π/4)}

5:a{1-cos(4π/5)}

6:a{1-cos(4π/6)},a{1-cos(6π/6)}

7:a{1-cos(4π/7)},a{1-cos(6π/7)}

8:a{1-cos(4π/8)},a{1-cos(6π/8)},a{1-cos(8π/8)}

9:a{1-cos(4π/9)},a{1-cos(6π/9)},a{1-cos(8π/9)}

10:a{1-cos(4π/10)},a{1-cos(6π/10)},a{1-cos(8π/10)},a{1-cos(10π/10)}

整理すると

4:2a

5:a{1+cos(π/5)}

6:a{1+cos(π/3)},2a

7:a{1+cos(3π/7)},a{1+cos(π/7)}

8:a,a{1+cos(π/4)},2a

9:a{1-cos(4π/9)},a{1+cos(π/3)},a{1+cos(π/9)}

10:a{1-cos(4π/10)},a{1-cos(6π/10)},a{1-cos(8π/10)},2a

id:miku1973

ありがとうございます!!対角線の長さが複数あるものについては、それぞれ何本あるかわかりますでしょうか?

2004/04/23 12:39:28
id:Wutugu0276 No.8

Wutugu0276回答回数99ベストアンサー獲得回数22004/04/23 00:58:10

ポイント15pt

URLはダミーです。

これは余弦定理を使った初歩的な問題です。

正n角形が半径aの円に内接しているとき、その対角線の長さは

a√(2-2cos(360*2/n))

a√(2-2cos(360*3/n))

a√(2-2cos(360*(n-2)/n))

となります。もちろん、x+y=nとなるx,yにおいては対角線の長さは一致します。

id:miku1973

ありがとうございます!!対角線の長さが複数あるものについては、それぞれ何本あるかわかりますでしょうか?

2004/04/23 12:39:58
id:hannibal No.9

hannibal回答回数277ベストアンサー獲得回数02004/04/23 01:02:10

ポイント15pt

http://www.hatena.ne.jp/1082647

人力検索はてな

正四角形は(1辺は1辺のその長さ)

a=1辺*√2ですね。

五角形以上の正多角形の一番短いのは余弦定理を利用して

aの2乗=bの2乗+c2乗-2bc*cosA[これは多角形の1辺の内角]で求まると思います

あとは正5角形以上の内角が2つ以上入るものですね(全部答えられなくてすいません)

id:miku1973

ありがとうございます!!対角線の長さが複数あるものについては、それぞれ何本あるかわかりますでしょうか?もう少し待ちます。

2004/04/23 12:40:31
id:aki73ix No.10

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/04/23 01:08:57

ポイント15pt

すみません、さっきの解答が間違ってました

x^2=a^2+a^2-2a^2cosA

つまり x=a√2(1-cos(2kπ/n))

ただし n/2>=k>=2

http://www.hatena.ne.jp/1082594054

半径aの円に内接する正n角形(n≧4)があるとします。このときのn角形の対角線の長さを教えてください。どうぞよろしくお願い致します。ちなみにn=4のときは2aかな?.. - 人力検索はてな

さっきの説明より

4:a√2{1-cos(4π/4)}

5:a√2{1-cos(4π/5)}

6:a√2{1-cos(4π/6)},a√2{1-cos(6π/6)}

7:a√2{1-cos(4π/7)},a√2{1-cos(6π/7)}

8:a√2{1-cos(4π/8)},a√2{1-cos(6π/8)},a√2{1-cos(8π/8)}

9:a√2{1-cos(4π/9)},a√2{1-cos(6π/9)},a√2{1-cos(8π/9)}

10:a√2{1-cos(4π/10)},a√{2-cos(6π/10)},a√2{1-cos(8π/10)},a√2{1-cos(10π/10)}

整理すると

4:2a

5:a√2{1+cos(π/5)}

6:a√2{1+cos(π/3)},2a

7:a√2{1+cos(3π/7)},a√2{1+cos(π/7)}

8:a√2,a√2{1+cos(π/4)},2a

9:a√2{1-cos(4π/9)},a√2{1+cos(π/3)},a√2{1+cos(π/9)}

10:a√2{1-cos(4π/10)},a√2{1-cos(6π/10)},a√2{1-cos(8π/10)},2a

id:miku1973

「それぞれ何本あるか」をお待ちしております!

2004/04/23 12:41:03
id:nesty No.11

nesty回答回数55ベストアンサー獲得回数02004/04/23 02:03:21

ポイント15pt

正n角形の対角線は

nが偶数のとき(n-2)/2種類、nが奇数のとき(n-1)/2種類あります。

それぞれの長さを定式化すると、

(対角線の長さ)=2a×sin(360/n) , 2a×sin(1.5×360/n) , 2a×sin(2×360/n) , …

となります。

したがって、対角線の長さは、

正方形:2a×sin90=2a

正5角形:2a×sin72

正6角形:2a×sin60=(√3)a , 2a×sin90=2a

正7角形:2a×sin(360/7) , 2a×sin(540/7)

正8角形:2a×sin45=(√2)a , 2a×sin67.5 , 2a×sin90=2a

正9角形:2a×sin40 , 2a×sin60=(√3)a , 2a×sin80

正10角形:2a×sin36 , 2a×sin54 , 2a×sin72 , 2a×sin90=2a

となります。

id:miku1973

ありがとうございます。わかりやすいです。正6角形以上で対角線の本数(長さの種類別)をお待ちしております。

2004/04/23 12:45:05
id:mayan No.12

mayan回答回数12ベストアンサー獲得回数02004/04/23 15:36:22

ポイント15pt

n角形の対角線の数ですが

((n-1)/2-1)

n-1はある特定の点から線のひける点の数

/2は左右対称に線が引かれていくので重複をさせない為

後のほうの-1は隣同士の点は対角線になり得ないので省く為

出てきた結果が対角線の種類の数になります(端数は真向かいに引く対角線になる為、他のところに引くより少なくなることを意味します)

そしてn本の整数値種類の対角線と端数がある場合n/2本の対角線が出てきます

((6-1)/2-1)=1.5 6 3

((7-1)/2-1)=2 7 7

((8-1)/2-1)=2.5 8 8 4

((9-1)/2-1)=3 9 9 9

((10-1)/2-1)=3.5 10 10 10 5

.

.

.

と続きます

((n-1)/2-1)*nとすると引くことのできる対角線の総数になります

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません