重心座標がどのように定義されるか教えていただけないでしょうか? 今、横の長さX、縦の長さYの長方形があるとします。Xは任意の長さx1、x2、・・・xnとn個の区間に細分されており、Yは任意の長さy1、y2、・・・ymとm個の区間に細分されています。x1とy1に囲まれている長方形をA11、一般化してxnとymに囲まれている長方形をAnmと定義します。つまりn*m個の小さい長方形エリアがあるというわけです。今各エリアに重さの概念があり、A11の重さはW11、一般化してAnmの重さはWnmとするとき、この横の長さX、縦の長さYの長方形の重心の座標は、これら文字を使ってどのように決まるでしょうか?どうぞよろしくお願い致します!!

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回答(5件)

id:quamale No.1

quamale回答回数8ベストアンサー獲得回数02004/04/27 12:38:09

ポイント10pt

http://www.hatena.ne.jp/1083031711

重心座標がどのように定義されるか教えていただけないでしょうか? 今、横の長さX、縦の長さYの長方形があるとします。Xは任意の長さx1、x2、・・・xnとn個の区間に細.. - 人力検索はてな

任意の長方形xiyjの重心は(xi/2,yj/2)の位置にあるものとします。

(小さい長方形の内部は等分布加重)

まずx方向に長い領域について考えます。

(x1y1の長方形の左下の角を原点とします)

yj□ □ □ □ □ □

x1 x2 … xn

 w1j w2j … wnj

この領域のx方向の重心は、

n-1

  w1j*(x1/2) + w2j*(x1+x2/2) + … + wnj*(Σxi + xn/2)

i=1

Gxj = ----------------------------------------------------

 w1j + w2j + … wnj

まとめると、

n k-1

 Σ { wkj*(Σxi + xk/2)}

k=1 i=1

Gxj = -------------------------

n

 Σ wij

i=1

j-1

y方向の重心 Gyj = Σyi + yj/2

i=1

となります。

次にこの横長の領域を積み重ねて全体を考えます。

n

ym □□□□□□■□□ 質量 Σwim

Gxm i=1

 □□■□□□□□□

 □□□□□■□□□

n

y2 □□□□□□□■□ 質量 Σw2m

Gx2 i=1

n

y1 □■□□□□□□□ 質量 Σw1m

   Gx1 i=1

■の位置に横長長方形の重心Gxj,Gyjがあるとします。

このときx方向の重心は、

n n n

Gx1*Σwi1 + Gx2*Σwi2 + … + Gxm*Σwim

i=1 i=1 i=1

----------------------------------------

n n n

Σ wi1 + Σ wi2 + … + Σ wim

i=1 i=1 i=1

m n

Σ( Gxj * Σwij )

j=1 i=1

= ---------------------

m n

Σ Σ wij

j=1 i=1

またy方向も同じように、

n n n

Gy1*Σwi1 + Gy2*Σwi2 + … + Gym*Σwim

i=1 i=1 i=1

----------------------------------------

n n n

Σ wi1 + Σ wi2 + … + Σ wim

i=1 i=1 i=1

m n

Σ( Gyj * Σwij )

j=1 i=1

= ---------------------

m n

Σ Σ wij

j=1 i=1

式と絵でぐでんぐでんになってしまいました。

計算あってるか少々不安ですが、こんなかんじでいかがでしょうか??

id:Unknown No.2

Unknown回答回数8ベストアンサー獲得回数02004/04/27 13:29:38

ポイント10pt

 後々自分でも考察したいものですので、自分の日記に書いてみました。

 まず簡単な次元から考えて、2次元問題に拡大してみました。仕事の昼休み中に考えたものでしたので、もしかしたら間違っているかもしれません。

id:shift_sbt No.3

shift_sbt回答回数20ベストアンサー獲得回数02004/04/27 14:44:05

ポイント10pt

http://www.hatena.ne.jp/1083031711#

重心座標がどのように定義されるか教えていただけないでしょうか? 今、横の長さX、縦の長さYの長方形があるとします。Xは任意の長さx1、x2、・・・xnとn個の区間に細.. - 人力検索はてな

この長方形をデカルト座標系に持ち込みます。

原点を長方形の左下の角からx軸方向に−X/n、y軸方向に−Y/nのところにおきます。

記述方法を箇条します。

a=x軸方向の細分化した後のセルの何番目かをあらわす(ex:a=3と書いたら左から3番目ということ)

b=y軸方向に関して上記と同様

α=x軸方向の重心の位置

β=y軸方向の重心の位置

��(n=1,5)[Wnm]=n=1から5までの区間のWmnの総和

以上に基づいて話を進めます。

まず、x軸方向の重心を求めます。

細分化した後の各セルの重心はそのセルの対角線の交点と考えます。

よって原点から見てx軸方向に1列目の重心はx=X/nにあり、そこにはその列のy軸方向の質量の総和である��(b=1,m)[W1b]がかかっていると考えられる。

よってx軸方向の重心は

��(a=1,n)[{(X/n*a)-α}*��(b=1,m)[Wab]]=0をαについて解けば求められる。

同様にしてy軸方向も

��(b=1,m)[{(Y/m*b)-β}*��(a=1,n)[Wab]]=0をβについて解けば求められる。

よって重心の位置は(x,y)=(α,β)となる点である。

図が無いので分かりづらいかもしれません。

id:aki73ix No.4

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/04/27 11:31:02

ポイント25pt

重心の重み付けは距離に比例しますつまり

重心の座標(a,b)は

n m

Σ Σ(x-a) Wxy ・・・(1)

x=1y=1

n m

Σ Σ(y-b) Wxy ・・・(2)

x=1y=1

①=0、②=0を満たす点

つまり式にすると

n m

Σ Σ Wxy ・・・(3)

x=1y=1

n m

Σ Σ Wxy ・・・(4)

x=1y=1

(1)÷(3)=a

(2)÷(4)=b

というところでしょうか

id:miku1973

ありがとうございます!今理解に努めています。少々お待ちください。他のアドバイスもお待ちします。

2004/04/27 11:39:14
id:takasiym No.5

takasiym回答回数165ベストアンサー獲得回数02004/04/27 11:53:15

ポイント25pt

長方形の重心座標をr(ベクトル)とします。

長方形の各区間の重心座標をrijとします。

長方形全体の質量をWとすると、

W=(1/Σ(i=1 to n, j=1 to m)Wij)

r=(1/W)*Σ(i=1 to n, j=1 to m)(Wij*rij)

上記Webサイトによれば極限を取ると、

任意の各微小区間の密度をμ(r)、

任意の各微小区間の体積をdVとすると重心座標は、

r=(1/W)*(∫V μ(r)dV)

という体積積分で表されるそうです。

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