高校数学で平面ベクトルのベクトルの内積というのを習いますが、果たしてこの内積という物は何を表すのかを教えて下さい。長さ同士とcosをかけて、一見何も意味のないようなものに見えて、どうしても理解にたどり着けません。助言お願いします。

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a・(b cosA)と分けて考えてください。

（a、bはベクトル）

b cosA はbのa成分の長さ、ってことです。

別の言い方をすれば、aとbの内積ってのは、bからaに垂線をおろした点の長さとbとの積です。

（↑言い回しが厳密でなくてすいません）

とくに上のaを単位ベクトル（長さ1のベクトル）にすれば、bをaとaに垂直な成分に分けたときの、a成分がわかるわけです。

まぁ、早い話ベクトルの長さをはかるための定規みたいなもんだと自分はとらえております。

URLの21ページ（5枚目）の図を見ていただければ、一目瞭然だと思います。

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私自身はうまく説明できません．

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ここの７月２９日の後半部分から。

抜粋してしまうと、、

ベクトルOA(=a),OB(=b)で作られる三角形OABの辺ABに着目して、

|AB|^2=|OB-OA|^2（=|b-a|^2）=|a|^2+|b|^2-2ab

の、一番最後のab（内積）を成分から計算して、ab（内積）＝|a||b|cosθ　になる意味を説明しています。

（式として使いやすいように定義されている）

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内積はベクトルとベクトルからスカラーをつくる演算を意味します。角度を測るための演算と考えることもできます。

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登録したURLはダミーです。

↑すでに既出のURLで申し訳ありません。ベクトルの内積の求め方は2通り習うかと思いますが、ここで挙げたURL(ダミーじゃない方)は「長さと角度」で表したベクトルではなく「x成分、y成分」で表したベクトルで内積を求める方法を先に教えるべきだと言っていますね。

　私個人の考えですが、ベクトルの内積は「双方のベクトルがお互いに及ぼす力」を示しているのではないのでしょうか。例えば、2つのベクトルが同じ方向ならば、単純に長さをかけた分の数値になりますし、2つのベクトルが90°の関係ならば「お互いに及ぼす力は無い」と言う意味で内積が「0」になります。さらに2つのベクトルが180°の関係ですと「互いに引っ張り合う」と言う意味で内積が負の値になると考えています。

　ちょっと高度な話ですと、ベクトルの内積はベクトル→スカラーの変換をしているのですね。多次元から1次元の変換になるのですが、この辺の概念があやふやのまま内積の話が入るので、困惑するのではないかと思います。

　始点が同じ2つのベクトルが成す三角形の面積も内積から無理やり求めることができますしね…。面積も「値」しか持たない1次元情報ですので。

　今までは「値＋値＝値」や「値×値＝値」など単純な演算ばかりでしたが、今後は左辺と右辺でまったく次元が異なる演算もあるのだと認識した方が良いでしょう。私も昔、ベクトルを使って演算をしていたのに、いつの間にか「数値」だけの答えになっていて理解に苦しんだ記憶があります…。

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URLはダミー。

実は内積は定義があって、あるベクトル空間の2つのベクトルの、それぞれの同次元要素を掛け合わせたものの和。(正確に言うと片方は共役値になるのだけど、高校ではそこまで出てこない)

まぁ、早い話が(x1,y1)と(x2,y2)っていうベクトルがあったら、その

x1*x2 + y1*y2

を内積と定義しよう、と。

で、その内積の値のとり方で二つのベクトルがどのような関係か分かる。一番出てくるのは内積が0のときで、このとき両者は「直交する」と言う。

で、2次元の時にこの内積の値を考えると、「たまたま」ちょうど両者の長さ同士をかけてその間の角のcosをかけたものになってる。

(ホントにたまたまかどうかは知らない)

この内積自体の定義は2次元でも3次元でも4次元でもn次元でも同じだし、内積が0だと直交するってのも同じ。

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この辺りがわかりやすいと思うのですが…。

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こういうことなんでしょうかね？

違ったらごめんなさい。

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それぞれのベクトルがどれほどお互いに近いか、 その程度を表すスカラー量であるという考え方もあります。

ただし、あくまでもイメージし易くするための考え方であり、実際は何を示すというものはありません。

内積をa・b＝|a||b|cosθと定義すると、様々な（工学分野などの）物理現象を解析する上で非常に有用であるので、現在も広く使われている、といった解釈の方がぴったりくるように思います。

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この掲示板の2109から2110にかけて内積とは何かということに触れているようです。

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このページで分かるという人もいるでしょう。

ちなみに僕はこの考え方には賛成できませんが…。

僕の考え方を簡単に説明してみます。

まずベクトルとは何か？

「向きと大きさ」というのが一般的ですが、もう少し抽象的に言うとたとえば「Ａ大学にすごく入りたい」という場合、ベクトルの方向はＡ大学に向き、長さは「すごく」なのでとても長くなります。

もしかして、もっと分かりにくくなりました？ちなみに僕の大学の教授は酔うとよく「キミ達にはベクトルが無い！！」と言います。

内積の使い方っていうのは僕も何と言って良いのかわかりません。

ですが、理科系だけではなく、経済学にも内積が使われているという話を聞いたことがあります。

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既出かな。。

内積というのは、ある価値観aと価値観bを考えたとき、（aの価値観から見たbの価値／bの影）にaの価値をかけたものです。

今までのかけ算なら同じ方向性の人ばかりで議論していたから良かったのだけれど、普通、価値観の方向性というのはお互い異なるわけで、そんなときに考えられる一つの評価法が内積というわけ。

外積では、２つの価値を組み合わせた新しい価値を作るのだけど、それはまた別の話。。。

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ベクトルの和と差は、イメージしやすいんですけどね。

内積という、新しい概念に、とまどっちゃいますね。

＃「直交するベクトルの内積は、ゼロ！」

くらいしか、覚えてなくて。

詳しくはＵＲＬ参照。

「ベクトルの角度と長さを問う問題を解くには、内積！」だそうです。

　大学で、線形数学を（真面目に）学べば、より深く理解できると思います。

　まずは、「ベクトルには、内積ってものがある」のだー、と思っていただいて、それから、

使い方に慣れていただくとよいかと。

　それから、もし身近に理系の大学生が居たら、聞いてみたり、図書館で線形代数の本をパラパラとめくってみたりするのも、新しい世界が見えて、いいかも。