微分方程式初心者です。以下の2問を解きながらに微分方程式の解き方を教えてください。どちらか一問でもかまいませんが、両方の問題について納得出来次第締め切らせていただきます。


★d2y/dt2+dy/dt=sin(t) (”2”は二乗です)
 (初期条件 t=0の時 y=0, dy/dt=0)

★dy/dx=(x-2y+2)/(2x-4y-1)

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回答(3件)

id:aki73ix No.1

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/08/14 14:57:15

ポイント30pt

まず簡単な方から

x-2y=uとおきます

xで微分すると 1-2y’=du/dx

(2u-1)y’=(u+2)より

1-2(u+2)/(2u-1)=du/dx

1-(2u+4)/(2u-1)=1-(1+5/(2u-1)

-5/(2u-1)=du/dx

変数分離して

(2u-1)du=-5dx

∫(2u-1)du=-5∫dx+C

u^2-u=-5x+C

x-2y=uなので

(x-2y)^2-(x-2y)+5x=C

(x-2y)^2+4x+4y=C

となります

^2は2乗のことです

id:crone

なんとか理解することができました。

aki73ixさんありがとうございます。

引き続き一問目の解答も募集します。

丁寧な説明大歓迎です。

よろしくお願いします。

2004/08/14 16:49:12
id:smoking186 No.2

186回答回数74ベストアンサー獲得回数62004/08/14 17:28:40

ポイント45pt

http://d.hatena.ne.jp/keyword/%c8%f9%ca%ac%ca%fd%c4%f8%bc%b0

微分方程式とは - はてなダイアリー

y’’ = d^2y/dt^2 , y’ = dy/dtと表します。

y’’ + y’ = sin(t)……(i)

非斉次微分方程式なので、まず斉次微分方程式 y’’ + y’ = 0 ……(ii) を解きます。

特性方程式を考えるとλ^2 + λ = 0なので根は0,-1になります。

よって斉次微分方程式の一般解は

y= C_1 e^{-1*t} + C_2 e^{0*t}

= C_1 e^{-t} + C_2

となります。

非斉次微分方程式は(i)の特殊解と(ii)の一般解の和になるので、次に(i)の特殊解を求めます。

(i)の右辺がsin(t)なので、特殊解はy = a sin(t) + b cos(t)の形をしていると考えられます。実際に(i)に代入してみると、

(a - b) cos(t) - (a + b) sin(t) = sin(t)

よって

a = 1/2 , b = 1/2

となります。

よって

y = C_1 e^{-1*t} + C_2 + 1/2 ( sin(t) + cos(t))

です。

後は初期条件が二つあるのでC_1,C_2を決定します。

t=0の時、y=0なので、

0 = C_1 + C_2 + 1/2

t=0の時、y’=0なので、

0 = -C_1 + 1/2

これを解くと、C_1 = 1/2 , C_2 = -1を得ます。

以上より、

y = 1/2 (e^{-t} + sin(t) + cos(t) ) - 1

となります。

id:crone

詳しい説明ありがとうございます。

これならできそう♪

2004/08/15 00:03:34
id:uttori No.3

uttori回答回数2ベストアンサー獲得回数02004/08/14 23:08:41

ポイント70pt

URLはダミーです。

手書きで解答してみました。字が読みにくいのはご勘弁を。

一応、未定係数法とラプラス変換法の2種類で1問目をといてみました。

ただ説明不足だと思うので理解しにくいかもしれません。すみません。

id:crone

こんなことまでしてもらっていいんですか?!

ちょっと感動しました。お手数かけてすみません。

3人の方ありがとうございました。

2004/08/15 00:06:45
  • id:dasm
    補足

    もう満足されたかもしれませんが、もう少しだけお付き合い下さい。
    2コ目の問題は2番目と3番目の方で答えが違ってますが、3番目の方が正しいですね。
    で、最初の問題の方ですが、リンク先に同次形微分方程式の解き方が詳しく載っているので参考までにどうぞ。この問題は例1.9にあたりますが、u を x-2y ではなく、分母の 2x-4y-1 にした方が計算がラクかもしれません。このあたりは好みの問題ですが。
    今回はたまたま u とおいてうまくいきましたが、いつもうまくいく訳ではありません。例1.8のように、座標軸の平行移動をする事で同次形にして、それから変数分離というパターンの問題もよくあるので、頭の片隅に入れておくとよいと思います。
    http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node7.html
  • id:crone
    Re:補足

    2個目の問題は符号が間違ってますね。ご指摘ありがとうございます。
    最初の問題ですが、分母をuにすると-10/u・duを積分すれば済み、uに分母を代入するときも計算が楽になりました。
    リンク先の例1.8も分母をuにした場合と比較してみましたが、一般的に楽になるわけではないようですね。一般化してみましたが、分母をuにした方がいい場合は特殊ですね。
    リンク先のご紹介ありがとうございます。次回質問に答えてくださった時にポイントおまけするので、またよろしくお願いします。

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