微分方程式

y’=(y/x)log(y/x)
の求積
S {u・log(u)-u}^(-1)du=S x^(-1)・dx
で計算が合わなくなります。
答えは
y=xe^(cx+1)
また、なぜcが指数に編入されてしまったのでしょう?
この2点をもらさずに解説していただけませんか?

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回答(3件)

id:exedexes No.1

exedexes回答回数17ベストアンサー獲得回数02004/08/17 00:49:48

ポイント5pt

http://www.hatena.ne.jp/1092667538

微分方程式 y’=(y/x)log(y/x) の求積 S {u・log(u)-u}^(-1)du=S x^(-1)・dx で計算が合わなくなります。 答えは y=xe^(cx+1) また、なぜcが指数に編入されてしまったので.. - 人力検索はてな

そのまま計算したら答えになりませんでした汗

追っかけてみましょう。

∫1/(ulogu-u)du=∫(1/x)dx ただしu=y/x

logu=Tとおいて置換積分

∫1/(T-1)dT=∫(1/x)dx

log(T-1)=logx+C

log(y/x-1)=log(cx)←C=logcと置いた※

y/x-1=exp(cx)

y=x(exp(cx)+1)

なぜcがついたかは※のような変換をしたからです。

 んで上記の解答じゃないと微分方程式満たさないので正しいと思うんですが汗

id:crone

回答ありがとうございます。

置換積分をすっかり忘れてました。

C=logcのところは納得です。

log(T-1)=logx+C

に対してT=loguを戻したところですが、T=y/xが代入されているように見えるのですが…

もう一度詳しくお願いできませんか?

解答の方でexp(cx+1)まで含まれているのはプリントミスですね、きっと

2004/08/17 01:08:50
id:exedexes No.2

exedexes回答回数17ベストアンサー獲得回数02004/08/17 02:38:40

ポイント25pt

http://d.hatena.ne.jp/exedexes/

蟷螂の斧を振りかざせ

明らかに私、間違ってますな。んでお書きになっている解答じゃないと微分方程式を満たさない・・・お恥ずかしい・・・

途中から

log(T-1)=logx+C

log(logu-1)=log(cx)

logu-1=cx

logu=cx+1

u=exp(cx+1)

y/x=exp(cx+1)

y=x*exp(cx+1)

 プリントの解答は合ってます!混乱させてしまって申し訳ない。

久々に微分方程式解いておもしろかったり。

ではでは

id:crone

これなら納得です。

ここに数式打ち込むのってちょっと無理があるし、見にくいからしょうがないかな。

また質問の際はよろしくお願いします。

2004/08/17 13:38:20
id:aki73ix No.3

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272004/08/17 04:22:28

ポイント35pt

y/x=u とおきます

y=xu 移行して

dy/dx=u + x du/dx xで微分 (公式:f(x)=g(x)h(x)のとき f’(x)=g(x)h’(x)+g’(x)h(x))

y’=(y/x)log(y/x) 代入すると

u+xdu/dx=ulogu こうなります

xdu/dx=u(logu-1) 更に移行して

log u=v とおいて

dv/du=1/u uで微分

xdu/dx=u(logu-1) ここの式を変形

1/u(logu-1) du=1/x dx 変数分離

∫1/u(logu-1) du=∫1/x dx 移項して∫をつけて

∫1/(v-1)dv=∫1/x dx 代入します

log(v-1)=logx+C=logx+logC’=log C’x 積分を解きます

v-1=C’x 両辺のlogを取ります

log u -1=C’x 最初に代入した値を戻します

log(y/x)-1=C’x もう一度変形

log(y/x)=C’x+1 移項

y/x=exp(C’x)+1 logを取ります

y=x{exp(C’x+1)+1} 移項、答えです

2回代入してるのがポイントです

id:crone

log u=v と置かなかったのが式が複雑になってしまった原因のようです。多分計算間違いもしてたに違いない・・・

2004/08/17 13:43:02

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