また微分方程式です汗

y’=e^2x-ye^x
なんですが、タイプは
dy/dx=p(x)y+q(x) 型の「線型方程式」らしいです。
この線型方程式の一般解法が両辺にexp(∫p(x)dx)を掛けるというものらしいのですが、
この使い方を分かりやすく説明しながら問題を解いてもらえませんでしょうか?
毎度、複雑な注文に答えていただきありがとうございます。

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回答(3件)

id:asanemu No.1

asanemu回答回数6ベストアンサー獲得回数02004/08/17 19:41:57

ポイント25pt

dy/dx+P(x)y=Q(x) →(1)とします。ただしP(x)=e^x、Q(x)=e^2x、A,Bは定数

(1)式の方程式でQ(x)=0のときは斉次方程式となり

y=Ae^(-∫P(x)dx) →(2)

が解となります。

このAもxの関数だったとしてA=A(x)、e^(-∫P(x)dx)=W(x)とおくと、(1)式は

dA(x)/dx=Q(x)/W(x)

これをとくと

A(x)=∫(Q(x)/W(x))dx+B

よって(2)式は

y=e^(-∫P(x)dx){∫Q(x)*e^(∫P(x)dx))dx+B}

となります。これはLagrangeの定数変化法と呼ばれます。

(解が斉次の一般解+非斉次の特殊解となっています)

P(x)=e^x、Q(x)=e^2xを代入し

y=e^(-∫e^xdx){∫e^2x*e^(∫e^xdx))dx+B}

です。

id:crone

http://www.hatena.ne.jp/1092460097

ということは、この…=sin(t)と同様の非斉次方程式ですよね。線形方程式の解法には

sin・cos型、e^x型が今のところ上がっているのですが、他にも型があって解法を場合分けしたりするものなんですか?

誰か教えてください。

ちなみに解答は

y=e^x-1+ce^(-e^x)

だそうです。

2004/08/17 20:14:47
id:sonicazur No.2

sonicazur回答回数30ベストアンサー獲得回数02004/08/17 19:50:47

ポイント30pt

上はダミーです。

dy/dx=p(x)y+q(x)をdy/dx+f(x)y=r(x)と置き換えて与式とし、これを解いてみます。(f(x)をf r(x)をrと書くことにします)

与式を(fy-r)dx+dy=0と変形します。

いまこの方程式は完全ではないので完全方程式にするために両辺に積分因子Fをかけます。今の場合それが F=exp(∫f(x)dx)です。

因子の求め方は…

両辺に因子をかけた式

F(fy-r)dx+Fdy=0 → F(fy-r)dx=-Fdy

この両辺の偏微分が等しいので(完全方程式なので)

Ff=dF/dx

となります

変数を分離して積分を求めると

ln|F|=∫f(x)dx

となりしたがって因子Fは

F=exp(∫f(x)dx)です

A=∫f(x)dx と置くことにして因子は F=exp(A)です

与式に因子をかけて

exp(A){dy/dx+f(x)y}=exp(A)r(x)

これを積の微分法の逆で変形すると

d{exp(A)y}/dx=exp(A)r

となります

両辺を積分してexp(A)で割れば

y=exp{-A(∫exp(A)rdx+C)}が求まります

こんな感じで・・・

id:crone

ちょっと混乱しそう・・・・

わかった後に読めば納得できそうです。

初習者ですので、手取り足取りしてもらわないと・・・

2004/08/17 21:06:23
id:asanemu No.3

asanemu回答回数6ベストアンサー獲得回数02004/08/17 20:49:57

ポイント5pt

ごめんなさい。

続きです。

y=e^(-∫e^xdx){∫e^2x*e^(∫e^xdx))dx+B}

=e^(-e^x){∫e^2x*e^(e^x)dx+B}

ここで

∫e^2x*e^(e^x)dx = ∫e^x*{e^x*e^(e^x)}dx

=∫e^x*{e^(e^x)}’dx

=e^x*e^(e^x)-∫e^x*e^(e^x)dx

=e^x*e^(e^x)-e^(e^x)

y=e^(-∫e^xdx){∫e^2x*e^(∫e^xdx))dx+B}

y=e^(-e^x){e^x*e^(e^x)-e^(e^x)+B}

=e^x-1+Be^(-e^x)

以上です。

id:crone

asanemu、sonicazurさんありがとうございました。

まともな質問ができるよう出直してきます。

またよろしくお願いしますね。

2004/08/17 21:56:54

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