x^5=1

をできれば2通りの方法で解いてください。

回答の条件
  • URL必須
  • 1人2回まで
  • 登録:2004/08/21 22:58:05
  • 終了:--

回答(7件)

id:marlene7196 No.1

marlene7196回答回数144ベストアンサー獲得回数02004/08/21 23:07:54

ポイント1pt

http://www.fake.com/

FAKE LANDSCAPES - the artificial plant company

1.

x=(1)^(1/5)=1

2.

log (x^5)=5log x=log(1)=0

log x=0/5=0

∴x=10^0 = 1

id:crone

造花、リアルですね

解は虚数も含めます。すべて求めてください

5つあるはずです

2004/08/21 23:12:42
id:countdown No.2

countdown回答回数19ベストアンサー獲得回数12004/08/21 23:35:15

ポイント10pt

http://www.hatena.ne.jp/1093096685#

x^5=1 をできれば2通りの方法で解いてください。 - 人力検索はてな

URLはダミーです

x^5=1…①

x=r(cosθ+(sinθ)i) (r,θは実数)とおく。

ここで①とド・モアブルの定理により

x^5=r^5(cos5θ+(sin5θ)i)=1(cos0+(sin0)i)=1

⇔r=1,5θ=2πkが成り立つ。(rとθは実数だから)

よって答えは

x=cos(2k/5)π+(sin(2k/5)π)i (K:任意の整数)

と言う感じで良いと思います。

ごめんなさい、二つは思いつきませんでした。

id:crone

ありがとうございます。x^5=e^(2nπi)と表す方法もありました。

解は

cos0°+isin0°= 1

cos72°+isin72°

cos144°+isin144°

cos216°+isin216°

cos288°+isin288°

ですね。cos72°=(-1+√5)/4以外に有理数に直せる三角関数はありますか?

ここまで書く必要はないんでしょうかね?

2004/08/22 00:05:43
id:forget-me-not No.3

forget-me-not回答回数481ベストアンサー獲得回数02004/08/21 23:42:32

ポイント25pt

①因数分解して

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

左辺よりx=1

右のカッコ内をx^2≠0に注意してx^2で割るとx^2+x+1+1/x+1/x^2=0となる。

これは相反方程式なので整理すると{(x+1/x)^2}-2+(x+1/x)+1=0

x^2+x=tとして整理するとt^2+t-1=0

因数分解してt=(-1±√5)/2となる。

x+1/x=tに戻して

x^2-((-1±√5)/2)x+1=0

2x^2-(-1±√5)x+2=0

再び解の公式に入れて x=[(-1+√5)±√(-10-2√5)]/4, [(-1-√5)±√(-10+2√5)]/4.

で, 2√5 < 10 だから, 虚数単位 i を用いると

x=[(-1±√5)±i√(10±2√5)]/4

(√5 の直前の複号だけ同順) となる。

②複素数平面で考える。

(この5個の解は半径1の単位円上に内接すし、点1をひとつの頂点とする正5角形の5つの解となることは明白だから、として図示すれば数学的には問題ないと思いますが。)

x=cosθ+isinθ とおく。

x^5=cos5θ+isin5θとなる。

cos5θ=1より、5θ=0+2nπ(nは整数)となるので

θ=0,72,144,216,288(ここだけ角度ラジアンじゃなくてごめんなさい)がそれぞれ解となる。

id:crone

そうそう、この2通りです。複雑ですが他の三角関数の値も出ましたね。

ありがとうございます。

2004/08/22 00:16:10
id:mradults No.4

mradults回答回数92ベストアンサー獲得回数02004/08/21 23:44:16

ポイント20pt

1つめは、ド・モアブルを使った方法です。

高校で習うようなものですね。

r>=0として

x=r{cos(a)+i*sin(a)}

とすると、ド・モアブルの定理から

x^5=r^5{cos(5a)+i*sin(5a)}---(1)

となります。

x^5が1に等しいので、同じように書くと

x^5=cos(2π*n)+i*sin(2π*)---(2)

になります。(但しnは整数)

題意より(1)=(2)ですから、以上より

r=1

a=(2π*n)/5

となり、

x=cos((2π*n)/5)+i*sin((2π*n)/5)

(ただし、nは整数)

となります。

もう一個は、4次方程式の解の公式を使います。

x^5=1はx^5-1=0とかけ、これはさらに

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0とかけます。

したがって、

x^4+x^3+x^2+x+1=0の解とx=1が求めるxになります。

あとは、4次方程式の解の公式(フェラーリ)を使って解ける・・・と思います。

id:crone

ありがとうございます。4次方程式にも解の公式ありましたか…

3次元もあるんでしょうね

2004/08/22 00:23:15
id:konarukarof No.5

konarukarof回答回数28ベストアンサー獲得回数02004/08/21 23:48:17

ポイント15pt

http://www.1101.com/

ほぼ日刊イトイ新聞

URLはダミーです。

解をAexp(it)、(A,tは実数)の形で求めるとすると

 x^5=A^5exp(i5t)=1

両辺の大きさをとると

 A^5exp(i5t)A^5exp(-i5t)=1

 A^10=1

 A=1

したがって

 exp(i5t)=1

1=exp(i2nπ) (n=自然数)

なので

 5t=2nπ

 t=2nπ/5

n=6以上は同じなので

 t=(0,2/5,4/5,6/5,8/5)π

 x=exp(it) ただし、t=(0,2/5,4/5,6/5,8/5)π

t=0の時は自明の解1、それ以外は複素数解となります。

 複素平面上では、単位円を1を含んで5等分するする5つの点となります。

id:crone

ありがとうございます。3種類出揃いましたね。

2004/08/22 00:24:24
id:ryukun No.6

ryukun回答回数4ベストアンサー獲得回数02004/08/22 00:11:39

ポイント25pt

1)

x^5-1

=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

=(x-1)(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)

と因数分解されたと仮定すると係数比較して

a+b=1,ab+2=1

a+b=1,ab=-1

これらを満たすa,bは

t^2-t-1=0

の2解だから

(a,b)=((1-√5)/2,(1+√5)/2)

これらを

x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0の解

x=(-a±√(a^2-4))/2,x=(-b±√(b^2-4))/2

に代入して、全ての解は

x=1,-(1-√5)/4±(√(10+2√5)i)/4,-(1+√5)/4±(√(10-2√5)i)/4

2)

x^5-1

=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

ここで

x^4+x^3+x^2+x+1=0

について、x=0は解でないので両辺x^2で割って

t=(1/x)+x

とおくと

t^2-2=(1/x^2)+x^2

だから

t^2+t-1=0

となるので、これを解くと

t=(-1±√5)/2

よって

(1/x)+x=(-1±√5)/2

x^2-((-1±√5)/2)x+1=0

を解けばよいから全ての解は

x=1,-(1-√5)/4±(√(10+2√5)i)/4,-(1+√5)/4±(√(10-2√5)i)/4

3)

ド・モアブルの定理を使って暗算で

x=cos(2πk/5)+isin(2πk/5)

(但し、k=0,1,2,3,4)

id:crone

係数比較!いいですねー

(但し、k=0,1,2,3,4)も必要でしたね

ありがとうございます。

2004/08/22 00:26:26
id:mradults No.7

mradults回答回数92ベストアンサー獲得回数02004/08/22 00:19:28

ポイント4pt

>cos72°=(-1+√5)/4以外に有理数に直せる三角関数はありますか?

蛇足なのでポイント不要です。

倍角公式、三倍角公式などを使えば、全て有理数になりそうです。

cos144=cos2*72=2(cos72)^2-1

みたいなかんじで。

id:crone

そんな公式もありましたね。すっかり忘れてました。

出尽くしたようですね。

みなさま、ありがとうございました。

2004/08/22 00:27:58
  • id:aki73ix
    あ、終わっちゃいましたね

    x^5-1=0
    (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

    x4+x3+x2+x+1=0
    x=X-1/4とすると3次の項が消えるので
    X^4+(5/8)X^2+(5/8)X+205/256=0

    X^4+pX^2+qX+r=0とおき
    X^4+pX^2+qX+r=(X^2+a)^2-b(X+c)^2と変形
    p=2a-b
    q=-2bc
    r=a^2-bc^2
    これより
    b^3+2pb^2+(p^2-4r)b-q^2=0
    x^2+a±b^1/2(x+c)=0
    から解く方法

    64x6+32px4+(4p2-16r)x2-q2=0
    から解く方法

    x=1
    x=sin π/10±4iπ/10
    x=-sin3π/10±2iπ/10
  • id:crone
    急がせちゃってごめんなさい

    答えまでたどり着くのが大変ですが、ユニークな解法ですね。
    これでも、長引かせたつもりだったんです。本当は3問目で満足だったのですが、
    次々と回答が来ちゃって打ち切るに打ち切れなくなりまして…
    次回の質問でポイントを少しオマケするので、またよろしくお願いします。

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません