何度もすみません。数学の質問です。(微分、行列式、積分、一次変換)

問題は、http://cgi.vivamikan.net/mt3/diary/archives/math2.pdfにあります。
簡単でも良いので説明をつけてください。
1問だけでもOKです。よろしくお願いします。

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回答(7件)

id:tanpa No.1

tanpa回答回数72ベストアンサー獲得回数02004/08/30 19:45:22

ポイント14pt

2.1

(a+b)(b+c)(c+a) + abc + abc - ab(a+b) - ac(a+c) - bc(b+c)

= a^2b + a^2c + ab^2 + abc + abc + ac^2 +b^2c + bc^2 -a^2b -ab^2 -a^2c -ac^2 -b^2c -bc^2

= 4abc

id:mikan_iyokan

ありがとうございます。

やっぱ長い・・・

2004/08/30 20:59:40
id:auren No.2

auren回答回数309ベストアンサー獲得回数42004/08/30 19:50:17

ポイント20pt

http://www.hatena.ne.jp/1093860197#1.1

何度もすみません。数学の質問です。(微分、行列式、積分、一次変換) 問題は、http://cgi.vivamikan.net/mt3/diary/archives/math2.pdfにあります。 簡単でも良いので説明.. - 人力検索はてな

a:Δxはxの変化、Δyはyの変化なので、

Δx=h

Δy=f(a+h)-f(h)

となります。これを与式に代入すると、

Δy/Δx = (1/(a+2+h)-1/(a+2))/h

=((a+2)-(a+2+h))/h(a+2+h)(a+2)

=-h/h(a+2+h)(a+2)

=-1/(a+2+h)(a+2)

となります。

b:f’(x)は、h→0のときのΔy/Δxなので、aより-1/(x+2)^2となります。

http://www.hatena.ne.jp/1093860197#1.2

何度もすみません。数学の質問です。(微分、行列式、積分、一次変換) 問題は、http://cgi.vivamikan.net/mt3/diary/archives/math2.pdfにあります。 簡単でも良いので説明.. - 人力検索はてな

方法は1.1と同じです。

Δy/Δx = (√(x+3+h)-√(x+3))/h

= (√(x+3+h)-√(x+3))(√(x+3+h)+√(x+3))/h(√(x+3+h)+√(x+3))

= ((x+3+h)-(x+3))/h(√(x+3+h)+√(x+3))

= h/h(√(x+3+h)+√(x+3))

= 1/(√(x+3+h)+√(x+3))

b:f’(x)は、h→0のときのΔy/Δxなので、

aより1/2√(x+3)となります。

id:mikan_iyokan

ありがとうございます。

2004/08/30 21:04:54
id:believe_uu No.3

believe_uu回答回数5ベストアンサー獲得回数02004/08/30 20:44:18

ポイント20pt

URLはダミーです。

1

1.1

△y=f(a+h)-f(a)=1/(a+h+2)-1/(a+h)

△x=(a+h)-a=h

より、

△y/△x=-1/(a+h+2)(a+h)

f’(a)=lim(h→0)△y/△x=-1/(a+h)^2

普通に分数式を通分すればできます。

1.2

△y=f(a+h)-f(a)=√(a+h+3)-√(a+3)

△x=(a+h)-a=h

より、

△y/△x=1/{√(a+h+3)+√(a+3)}

f’(a)=lim(h→0)△y/△x=1/{2√(a+3)}

”分子を有理化”するのがポイントです。

2

すいません、行列式の定義とか忘れたのでパスです。

3

3.1

x=cos(t)とおいて置換積分を行うと、dx=-sin(t)dtより

左辺=∫cos(t)/sin(t)×{-sin(t)dt}

=-∫cos(t)dt=-sin(t)+C=-√(1-x^2)+C

(C:積分定数)

√(1-x^2)という形のとき、x=cos(t)もしくはx=sin(t)とおくのは定石です。置換積分については参考書等を確認下さい。

途中でスイマセン。時間があれば残りもやります。

id:mikan_iyokan

ありがとうございます。

ここからは、2.2、3.2、3.3、4.1をお願いします。

2004/08/30 21:19:24
id:ilovemaui No.4

ilovemaui回答回数17ベストアンサー獲得回数02004/08/30 21:42:54

ポイント14pt

2.2です。

URLでは問題3(2)ですね。

id:mikan_iyokan

ありがとうございます!!!

2004/08/30 21:55:49
id:star5109 No.5

すなやん回答回数26ベストアンサー獲得回数02004/08/30 22:10:17

ポイント14pt

3.1

1-x^2 = t とおくと x^2 = 1 - t

dx/dt * 2x = -1 → dx = -1/(2x) dt

∫x /(1-x^2)^(-1/2) dx

=-1/2∫1/ t^(1/2) dt

=-1/2∫t^(-1/2) dt

= -1/2 * 2 * t ^(1/2)

= -t^(1/2) + c (cは積分定数)

id:mikan_iyokan

ありがとうございます。

あとは、積分:3.2、3.3、と一次変換:4.1をお願いします。

2004/08/30 23:25:55
id:smoking186 No.6

186回答回数74ベストアンサー獲得回数62004/08/31 00:42:05

ポイント20pt

f : t(x y z) → t(x’ y’ z’) (tは転置を表す)

という1次変換を行列Aとしましょう。すると

A = (( 1, 3,-1)

( 2, 1, 2)

( 5,-4, 3))

となります。

A・t(x y z) = t(3 5 4)

なので、Aの逆行列 A^{-1}を考えて

t(x y z) = A^{-1} ・ t(3 5 4)

Aの逆行列を求める方法は素直に余因子行列を使うも良し、掃出法(ガウスの消去法)も良しです。

3.2

∫(x^2 + x + 1)^{1/2} dx

= ∫(t^2 + 3/4)^{1/2} dt (t = x + 1/2とおく)

= 1/2 * {t(t^2 + 3/4)^{1/2} + 3/4 log(t + (t^2 + 3/4)^{1/2})}

= 1/2 * {(x - 1/2)(x^2 + x + 1)^{1/2} + 3/4 log(x - 1/2 + (x^2 + x + 1)^{1/2}}

3.3

∫(1 + x - x^2)^{1/2} dx

= ∫(5/4 - t^2)^{1/2} dt (t = x - 1/2とおく)

= 1/2 * {t(5/4 - t^2)^{1/2} + 5/4 Sin^{-1}(t/(5^{1/2}/2))}

= 1/2 * {(x + 1/2)(1 + x - x^2)^{1/2} + 5/4 Sin^{-1}((2x + 1)/5^{1/2})}

平方完成して ∫(x^2 + a^2)^{1/2} dx , ∫(a^2 - x^2)^{1/2}という形にすると公式が使えます。

id:mikan_iyokan

ありがとうございます!

2004/08/31 08:11:34
id:rabo No.7

rabo回答回数3ベストアンサー獲得回数02004/08/31 00:47:09

ポイント15pt

(表示が崩れるかもしれませんが、等幅フォントで参照してください)

与えられた式は下記のように書ける。

/  \ /       \/ \

|x’| |1  3 −1||x|

|y’|=|2  1  2||y|

|z’| |5 −4  3||z|

\  / \       /\ /

右辺の3×3の行列の逆行列をはき出し法で求めると(どんな方法でも求まれば良いです。URL参照)

|1  3 −1|1 0 0|

|2  1  2|0 1 0|

|5 −4  3|0 0 1|

       ↓

(2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の5倍を引く)

       ↓

|1   3 −1| 1 0 0|

|0  −5  4|−2 1 0|

|0 −19  8|−5 0 1|

       ↓

(2行目を−1/5倍する)

       ↓

|1   3  −1 | 1    0  0|

|0   1 −4/5|2/5 −1/5 0|

|0 −19   8 |−5    0  1|

       ↓

(1行目から2行目の3倍を引き、3行目に2行目の19倍を加える)

       ↓

|1 0   7/5|−1/5   3/5 0|

|0 1  −4/5| 2/5  −1/5 0|

|0 0 −36/5|13/5 −19/5 1|

       ↓

(3行目を−5/36倍する)

       ↓

|1 0  7/5| −1/5   3/5    0  |

|0 1 −4/5|  2/5  −1/5    0  |

|0 0   1 |−13/36 19/36 −5/36|

       ↓

(1行目から3行目の7/5倍を引き、2行目に3行目の4/5倍を加える)

       ↓

|1 0 0| 11/36 −5/36  7/36|

|0 1 0|  1/ 9  2/ 9 −1/ 9|

|0 0 1|−13/36 19/36 −5/36|

以上により、逆行列は

/       \−1  /         \

|1  3 −1|   1| 11 −5  7|

|2  1  2| =−−|  4  8 −4|

|5 −4  3|  36|−13 19 −5|

\       /    \         /

元の式の両辺にこの行列を左からかけると、

  /         \/  \ / \

 1| 11 −5  7||x’| |x|

−−|  4  8 −4||y’|=|y|

36|−13 19 −5||z’| |z|

  \         /\  / \ /

求めるベクトルは(x’y’z’)が(3 5 4)となる(x y z)であるから、

この式に代入すると、

/ \   /         \/ \ / \

|x|  1| 11 −5  7||3| |1|

|y|=−−|  4  8 −4||5|=|1|

|z| 36|−13 19 −5||4| |1|

\ /   \         /\ / \ /

これが求めるベクトル。

余因子行列を使って逆行列を求める方法もあります

id:mikan_iyokan

すごい!!

お手数お掛けしました(汗;;

これにて終了させていただきます。

2004/08/31 08:13:14
  • id:auren
    またミスりました(汗

    Δy=f(a+h)-f(h) ではなく
    Δy=f(a+h)-f(a) でした。申し訳ありません。

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