地球上のある経緯度の点から、半径XXXmの円を書いたとした時、その円に外接する経度(2本)を求める式があるサイトがあれば教えてください。

最低限、地球を真球とみなした上で、
・特定点の経緯度
・円弧〜地球中心〜特定点のなす角(錐角とかいうんでしたっけ?角半径だったかな?)
の情報から、円と外接する径線の度数を求める式をお願いします。
そしてみつかるならば、できれば地球の赤道半径や扁平率も変数として考慮した上で、円の距離半径から接する径線が求められる式をお願いします。

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id:rabo No.1

rabo回答回数3ベストアンサー獲得回数02004/09/02 00:19:38

ポイント40pt

(URLはダミーです)

地球を半径Rの真球だと仮定して解いてみました。

ある経緯度の点をXとし、この緯度をφとします。

描いた円の半径をrとします。(球面上に沿って測った半径とします)

北極・南極を通り、この円に接する平面(のうち1つ)をαとします。

また、北極・南極・点Xを通る平面をβとします。

与えられた問題は、平面α・βのなす角θを求めることです。

(θが求まれば、答えは点Xの経度±θとなる)

さらに、描いた円を通る平面をγ、赤道を通る平面をδとします。

点Xと地球の中心Oを通る直線と、γの交点を点Aとします。

また、描いた円とαの接点を点Bとします。

まず、角AOBを求めると、この角に対する弧の長さがrであり、BO=Rであるので,

角AOB = r/R (以下、単位はラジアン)

したがって、AO = R cos(r/R)

平面α・β・γの交点をCとすると、角CAOは直角であることから、角ACO = φ

したがって、CO = R cos(r/R)/sinφ

また、CA = R cos(r/R)/tanφ

平面β・γ・δの交点をDとすると、

OD = CO tanφ = R cos(r/R)/cosφ

CD = CO/cosφ = R cos(r/R)/(cosφsinφ)

一方、三角形AOBを考えると、AB = R sin(r/R)

角ACBをρとすると、sinρ = CA/AB = tanφ tan(r/R)

平面α・γ・δの交点をEとすると、

DE = CD tanρ = R (cos(r/R)tanρ)/(cosφsinφ)

三角形ODEを考えると、

tanθ = DE/OD = tanρ/sinφ

両辺2乗して、

(tanθ)^2 = (tanρ)^2/(sinφ)^2 = ((sinρ)^2/(1-(sinρ)^2))/(sinφ)^2

= (tanφ tan(r/R))^2/(1-(tanφ tan(r/R))^2)/(sinφ)^2

= (tan(r/R))^2/((cosφ)^2-(sinφ)^2(tan(r/R))^2)

これを満たすθが求めるθとなります。

(図がなくてわかりにくくてすみません)

id:kokogiko

ありがとうございます。

すごいのでまだ全部理解していませんが、最初の10行程度をみて問題設定が正しかったので多分問題ないのだろうと思います。

後でじっくり確認します。

引き続き扁平率等を考慮した方法もありましたらお願いします。

2004/09/02 13:51:20

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