ある周期関数f(x)を有限個のフーリエ級数で表せたとします,

この時,f(x)の逆関数を求める事は出来るでしょうか?
なるべく日本語,「詳細な証明」よりは「結論と簡潔な説明」を希望します.

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  • 登録:2004/10/17 18:22:35
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回答(2件)

id:takasiym No.1

takasiym回答回数165ベストアンサー獲得回数02004/10/17 19:39:20

ポイント25pt

上記は関数行列に関するページです。

こんな感じでどうでしょうか?

結論:

関数f(x)の逆関数の有無はフーリエ級数が有限であるかどうかに依存しない。

説明:

逆関数の関数行列は元の関数の関数行列の逆行列であり、

かつ関数行列に対応する関数は一意的に決まります。

したがって、

逆関数は元の関数の関数行列の逆行列によってのみ規定されます。

よって、関数f(x)の逆関数の有無はフーリエ級数が有限であるかどうかには依存しません。

id:konkonkichi

有難うございます.

えっと,すぐには理解できないので,解答の中身についてはじっくり吟味させて頂きます.

聞き方が拙かったので申し訳ないのですが,具体的な逆関数の求め方も教えて貰えると嬉しいです.

条件によっては解の取りうる範囲を制限しないと,一意に解が定まらないと思うのですが,そういうのの一般的な求め方とかを知りたいです.

2004/10/17 19:58:30
id:takasiym No.2

takasiym回答回数165ベストアンサー獲得回数02004/10/17 20:52:34

ポイント25pt

上記はフーリエ級数に関するページです。

いえ、こちらこそ意図がくみ取れずすみません。

ではこちらはどうでしょう?

結論:

出来る。

逆関数をf(-1)(x)とすると、

f(-1)(x)=a_0+Σ(k=1 to n)(a_k*arccos(k*ω_0*x)+b_k*arcsin(k*ω_0*x))

(x_0:基本となる周期、ω_0=2π/x_0)

となる。

説明:

f(x)が有限のフーリエ級数で表せる場合、

f(x)は以下のように記述できます。

f(x)=a_0+Σ(k=1 to n)(a_k*cos(k*ω_0*x)+b_k*sin(k*ω_0*x))

但し、

x_0:基本となる周期、

ω_0=2π/x_0

とします。

# ”_”以下の数字及び変数は下付です。

関数f(x)は、

a_k*cos(k*ω_0*x) (0<=k<=n)・・・①

b_k*sin(k*ω_0*x) (0<=k<=n)・・・②

①、②の合成関数ですから、

f(x)の逆関数f(-1)(x)は、

a_k*cos(k*ω_0*x) (0<=k<=n)の逆関数・・・③

b_k*sin(k*ω_0*x) (0<=k<=n)の逆関数・・・④

③、④の合成関数で表すことが出来ます。

前回回答の原則論で行くと関数①、②の逆関数を求める場合、

関数行列得た後に逆行列を求め、

その逆行列から逆関数を導出しなければなりません。

# すみません。

# 実際このプロセスで三角関数の逆関数を求めるのは

# 至難の業だと思います。

# 僕も正直分かりません(汗。

しかし、三角関数の逆関数は自明ですから、

③は、a_k*arccos(k*ω_0*x) (0<=k<=n)

④は、b_k*arcsin(k*ω_0*x) (0<=k<=n)

となります。

したがって、有限のフーリエ級数で表せるf(x)の逆関数f(-1)(x)は、

f(-1)(x)=a_0+Σ(k=1 to n)(a_k*arccos(k*ω_0*x)+b_k*arcsin(k*ω_0*x))

と表すことが出来ます。

以上宜しくお願いします。

id:konkonkichi

お返事遅くなってすみません.

勘違いだったらすみませんが,疑問点を2つ.

○一般に”f(x)+g(x)”の逆関数は”f(-1)(x)+g(-1)(x)”が成立つのか?

○教えて戴いた結論が正しいとして,”arcsin(n*ω_0*x))”は-π〜π中に複数の解を持つが,この取り扱いはどうすればいいのか?

よろしくお願いいたします.

2004/10/20 01:48:25

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    適切な回答ができなくてすみません。 http://homepage2.nifty.com/tomka/fourier1.htmlに準拠なので、 f(x)=a_0+Σ(k=1 to n) (a_k* ...
  • http://www.hatena.ne.jp/1098004955について http://www.hatena.ne.jp/1098004955について 2006-03-13 16:12:14
    http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/math1/htdocs/function/ こちらにも逆関数について詳しい内容が載っています。 ○一般に ...
  • takasiymの日記 takasiymの日記 2006-03-13 16:12:20
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