円形の厚紙から扇型を切り取ってじょうごを作り、その容積をもっとも大きくしたい

扇型の中心角を何度とすればよいでしょうか

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  • 登録:2004/11/24 20:40:12
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回答(6件)

id:kuippa No.1

くいっぱ回答回数1030ベストアンサー獲得回数132004/11/24 20:53:28

ポイント10pt

高さ:円周=1:√3だそうなので

中心角は60度×2の120度になります。

…。説明必要?

id:sugisaku

できれば説明して欲しいです

2004/11/24 21:17:56
id:gungnir_odin No.2

gungnir_odin回答回数5ベストアンサー獲得回数02004/11/24 21:12:18

ポイント10pt

URLはダミーです。

180√2が最大となります。

id:sugisaku

なぜ?そうなるのか説明はありませんか?扇形の中心角と体積の間の関係を関数であらわして微分して最大になるところをもとめたいのですが

2004/11/24 21:21:20
id:pietro-apple No.3

pietro-apple回答回数129ベストアンサー獲得回数12004/11/24 21:14:00

ポイント5pt

http://www.hatena.ne.jp/1101296412

人力検索はてな - 円形の厚紙から扇型を切り取ってじょうごを作り、その容積をもっとも大きくしたい 扇型の中心角を何度とすればよいでしょうか..

294度かなぁ。

3分の2ルート6πらぢあん。

トイレで考えました。

間違ってたらごめんなさい。

id:sugisaku

概数で計算することより、微分してガチッともとめたいのです

2004/11/24 21:22:51
id:pietro-apple No.4

pietro-apple回答回数129ベストアンサー獲得回数12004/11/24 21:45:43

ポイント20pt

微分でということなので、二回目の回答。

URLに下手な式をおいときます。

自分は、厚紙の半径をaとおき、中心角をθradとおきました。

(θの範囲が気になるのなら、0〜2πにしといてください。)

それで、扇形の弧の長さは、aθですね。

ここで、aθは底辺の円周と同じ長さなので、

底辺の半径は、2π分のaθとなります。

そして、高さは、底辺と扇形の半径より、

三平方の定理を用いて、URLの1式です。

そして、最後に三角錐の体積を出して(2式)、

ルートの中身を微分すればいいと思います。

久しぶりにこんな問題といたんで、計算間違いとかしょぼいミスがあるかもしれません。

id:sugisaku

家についたら紙に書いてみます 弧度法と円周の関係をさっぱり忘れてました

2004/11/24 21:59:49
id:mizunouenohana No.5

mizunouenohana回答回数920ベストアンサー獲得回数92004/11/24 21:55:52

ポイント10pt

http://www.hatena.ne.jp/1101296412#

人力検索はてな - 円形の厚紙から扇型を切り取ってじょうごを作り、その容積をもっとも大きくしたい 扇型の中心角を何度とすればよいでしょうか..

必ず微分でなければいけないでしょうか。

でなくともよいなら…

円錐の体積(じょうごをひっくり返してください)について、頂点から円周部分への直線(三角形の辺になる距離、これ名前なんかあるんですよね?)が一定であるなら、円錐の体積が一番大きくなるのは、頂点の角度が60度の時です。二等辺三角形の面積が一番大きくなるのは正三角形のときであるのと同じでしょう。

で、頂点が60度、頂点から円周部への距離が1の時、円錐の底部の円の直径は当然1です。その時の円周の距離はπです。半径1で円周がπの扇形は必然的に半円になります。

ということは180度でしょう。

でいかがでしょう。

id:sugisaku

できる限り微分を使ってお願いします

2004/11/24 22:27:25
id:iikai No.6

iikai回答回数267ベストアンサー獲得回数132004/11/24 22:07:42

ポイント40pt

扇の半径を1、中心角をx ラジアンとしましょう。

円錐の底面の半径は、x/2pi。

円錐の高さは、(1-(x/2pi)^2)^.5

円錐の体積yは、底面積×高さ×3/4なので、

y =(x/2pi)^2*pi * (1-(x/2pi)^2)^.5 * 3/4

=x^2 * (1-(x/2pi)^2)^.5 / 12pi

=x^2 * (4*pi^2 - x^2) ^.5 /24

ここで、

関数 z=(4*pi^2 - x^2) ^.5

は、点(0,0)を中心にz>0の範囲に描かれた半径2piの半円なので、

dz/dxは点(x, (4pi^2-x^2)^.5)における半円の接線の傾きに等しく、

即ち -1/{点(0,0)と(x, (4pi^2-x^2)^.5)を結ぶ直線の傾き}に等しい。

従って、

dz/dx = -1/{(4pi^2-x^2)^.5 / x}

   = -x/(4pi^2-x^2)^.5

一方、y= x^2 * z /24 なので

dy/dx = {2xz + x^2(dz/dx) }/24

    = {2x(4pi^2-x^2)^.5+x^2(-x/(4pi^2-x^2)^.5)}/24

dy/dx=0とし、x≠0, 2piとすると

2x(4pi^2-x^2)^.5+x^2(-x/(4pi^2-x^2)^.5) =0

2x(4pi^2-x^2)^.5= x^2(x/(4pi^2-x^2)^.5)

両辺を(4pi^2-x^2)^.5 /x 倍して

2(4pi^2-x^2)=x^2

8pi^2-3x^2=0

x=(8/3)^.5 pi (ラジアン) =293.938769(度)

となり、4番の回答の方と同じ答えになります。

id:sugisaku

ありがとうございます

マスマティカで無理矢理やった方法とほぼ同じ値がでましたが、やはりスマートな方法はあるものですね

2004/11/24 22:28:04
  • id:iikai
    ちょいミス

    4行目と5行目の最後は3/4ではなく1/3でしたね。その後の計算は合っていいると思いますが。
  • id:kuippa
    )`Д゜)・;’

    ミス以前の問題だった。
    申し訳ない。平謝りです。

    理由を書こうとして、ハタと… 続きがかけませんでした。
    √3ときたから、ぁー 1:2:√3? ちゅうことは60度で×2だろうぐらいの勢いで答えちゃいました。
    しかも扇形の中心角だからどっちにしろ不正解。
    というか、考え込んだら自分のおつむじゃ答えが出せなかった_| ̄|○ li|

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