9という数字についてお知恵を拝借致したいと思います。


例えば、
96−69=27  2+7=9
や、
極端に言えば、
987654321−123456789=864197532  8+6+4+1+9+7+5+3+2=45  4+5=9

と、いった具合に、順番を入れ替えた数字を加減するとどうしても9になるのは何故ですか?

数学に疎い人間にも解るように説明して頂ければと思います。

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  • 登録:2004/12/13 22:23:42
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回答(6件)

id:siigimaru No.1

siigimaru回答回数556ベストアンサー獲得回数52004/12/13 22:29:09

ポイント15pt

http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/hosuu.htm

サイト移転のご案内 - 12 さんすう 34 数学 5 Go!

基本的に、補数の概念です。

id:genzaburou

ご回答ありがとうございます。

しかし、よくわかりません。

2004/12/13 22:43:34
id:auctiondiary No.2

auctiondiary回答回数1085ベストアンサー獲得回数22004/12/13 22:32:06

ポイント15pt

http://d.hatena.ne.jp/auctiondiary/

S15 シルビア チューニング&メンテ日記

足していけばすべて3の倍数になっている気が。。。

123456789という数があります。これが3の倍数か調べるには1+2+3+4+5+6+7+8+9が3の倍数か調べればOKなんです。この場合は45で3*15になりますね。

他も適当にやってみると

849153162の場合は足すと39ですので3*13で3の倍数です。

逆に言えば3の倍数から3の倍数を引いたら残りは3の倍数になります。

3×■-3×○=3×(■-○)になるので結局3の倍数ですし。

id:sami624 No.3

sami624回答回数5245ベストアンサー獲得回数432004/12/13 22:56:13

ポイント15pt

23→2×10+3

よってABという2桁の数字があった場合、

A×10+Bとなります。

入れ替えた数値はB×10+A

よってAB-BAは10A+B-10B-A=9A-9B=9×(A-B)となり9で割れる。

同様にしてABC-CBA=999A-999C=9×111×(A-C)となり9で割れます。

こういうことです。

id:aska186 No.4

aska186回答回数158ベストアンサー獲得回数02004/12/13 23:05:01

ポイント15pt

上記ページのように、「各桁の数字の和が9の倍数ならば、その数は9の倍数」になります。もう少し言えば一般に「各桁の数字の和は、その数を9で割った余り」を示します(※和が2桁以上になれば、さらにその各桁を加える)。

さて、「順番を入れ替えた数字を加減する」と「9になる」というのは「9で割り切れる」ということに他ならないですよね。これが示したい命題ですが……

「各桁の数字の和は、その数を9で割った余り」なので、順番を入れ替えた数字どうしは9で割った余りが同じになります。したがって、それらの差は9で割り切れるはずです。

p.s.申し訳ないですが、auctiondiary さんの回答(3で割り切れる)では証明の材料としては不十分です。

id:tunehisa No.5

tunehisa回答回数25ベストアンサー獲得回数02004/12/13 23:23:23

ポイント15pt

「九去法」をご存知でしょうか?上のページに証明が載っています。

この九去法を使うと、簡単に説明出来ます。

九去法によれば、”順番を入れ替えた”2つの数を9で割った余りは完全に一致します。

従って、この2数で引き算をすれば、余りの部分は相殺されてしまうので、

その答えは必ず9の倍数になります。

ところで、九去法で9で割り切れるということは、

最後に残る数字が0または9ということです。

しかし、各桁の数字を足していったのですから、0はありえません。

(途中で負数は出て来ませんから)

結果、ご質問のケースでは、最後に必ず9になります。

id:gobo No.6

gobo回答回数98ベストアンサー獲得回数02004/12/13 23:28:11

ポイント15pt

「三桁の整数abcがあるとする。a+b+cが9の倍数 9n だったとすると、abcは9の倍数である」

これは決まってるみたいですね。その上で数式を解くと(例:abc=100a+10b+c)全て9の倍数になると言うことです。

3もだって!!(なるほど)

参考までに似た様な質問。

  • id:genzaburou
    genzaburouよりご回答下さった皆様へ

    皆様ご回答頂き、ありがとうございました。

    まだ、このサイトの使い方が未熟な為、
    質問者のコメントを使いこなせませんでした。
    送信を押しても何故か反映されませんでした。

    どうも溜飲が下らないので、
    日を改めて、ご紹介下さったサイトを見て、研究してみたいと思います。
  • id:exedexes
    具体的な数での説明ってどうでしょ

    乗り遅れた。
    例:300000-3+3=299997+3=3*99999+3  ←こんな変形をする。
    見たとおり、9の倍数+10万の位の数と言うような変形ができる。
    例:293172=200000+90000+3000+100+70+2
         =(2*99999+2)+(9*9999+9)+(3*999+3)+(1*99+1)+(7*9+7)+3
     すでに9の倍数であるところはほっておくと
    各位の数の和2+9+3+1+7+3が9の倍数かどうかが全体が9の倍数かどうかに関わってくるような気がするでしょ。
     9の場合は具体的な数字でやると非常に見やすいですね。
     さらに、9999の形は他に3で割り切れますから、各位の数の和の部分が3で割り切れれば3で割り切れます。
  • id:genzaburou
    Re:具体的な数での説明ってどうでしょ

    >exedexes様
    ポイントもつかないのにご回答頂き、ありがとうございます。

    皆様に共通しているのは、「9で割れるか」
    というところですね。

    学生時代、もっと数学を勉強しておけばよかったと、
    今更ながら後悔いたしております。

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