(-1)×(-1)=1

を証明してください。

※URLでなく、コメントでお願いします。

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回答(21件)

id:tpichu No.1

tpichu回答回数304ベストアンサー獲得回数12005/01/05 09:08:34

ポイント3pt

http://dw-j.com/

dw-j.com > dw-j.com トップページ

そもそも負の数というものは物理的にはありえにくいものだと思えます。

(-x)*(-y)=xy

||

-x*-y

-(-xy)

マイナスをさらにマイナスにするとプラスになる(という概念)から

-(-xy)=xy

x=1 y=1 を代入

(-1)2(二乗)=1

id:masasan

> 負の数というものは物理的にはありえにくいもの

よく分からないです。例えば、幾つかの電子のもつ電荷は、負の数とは違うのでしょうか。

-x*-y

-(-xy)

この部分が飛躍です(或いは説明が足りません)。

2005/01/05 09:16:12
id:usakou No.2

usakou回答回数373ベストアンサー獲得回数02005/01/05 09:31:56

ポイント30pt

URLではなくコメントで、と言う質問者さんのお申し出があることは承知の上であえてURLを紹介させて戴きました。

なぜなら、まさしくこの問題の解答といえるものが載っているからです。私がこれを写せば著作権に反しますので、あえてURLを載せました。ご了承下さい。

id:masasan

まず回答1なのですが、

>マイナスをさらにマイナスにするとプラスになる(という概念)から

のほうが大きな突込みどころでした。訂正いたします。

おそらくそのページが、解法の著作権を保持しているわけでなないと思いますが。

正解です、ありがとうございます。

2005/01/05 09:39:38
id:EddyYamanaka No.3

EddyYamanaka回答回数385ベストアンサー獲得回数12005/01/05 09:35:15

ポイント30pt

http://www.hatena.ne.jp/1104882151#

人力検索はてな -  (-1)×(-1)=1 を証明してください。 ※URLでなく、コメントでお願いします。

(A-B)x(C-D)=AxC-AxD-BxC+BxD

この公式は…

例えば、

(6-4)x(3-1)=6x3-6x1-4x3+4x1

===========================

○○××××

○○××××

△△□□□□

===========================

○の部分は、全体から△□を引いて、×□を引いて…□を引きすぎるから

□を足します。って事です。

この公式に当てはめて…

(-1)x(-1)=(0-1)x(0-1)=0x0-0x1-1x0+1x1=0-0-0+1=1

になります。

id:masasan

公式の証明が必要ですね。

でも、ちょっと面白いです。

○×△□の説明がユニークで面白かったですが、具体的な数でしか説明出来ていないように思います。

また、○×△□式の説明で負の数についてどう説明しましょう?

2005/01/05 09:48:17
id:puamei No.4

puamei回答回数234ベストアンサー獲得回数02005/01/05 10:26:25

ポイント6pt

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=492736

マイナス−マイナスはなぜプラスになるか? - 教えて!goo

九州(マイナス)→名古屋(0地点)→東京(プラス)

東京に向かう=プラスとします。

九州へ向かう(-へ向かう)途中のA君が現在名古屋(0)にいたとして、

そのA君の1時間前にいた場所は(+1)東京よりの位置。

と言うことを金八先生が説明してましたが、わかりますか?

説明難しいですね。

id:masasan

数直線での説明に味付けをした感じでしょうか。

余計な媒介物が増えて、私にはわかりにくいです。感覚的につかむのも大事なことなのかもしれません。でも、方向のマイナスと時間のマイナスが同じものとして扱われていますね。

証明という観点からは、足りないと思います。

2005/01/05 10:35:18
id:cigue No.5

cigue回答回数75ベストアンサー獲得回数02005/01/05 10:27:33

ポイント45pt

URLはダミーです

証明ではないです。

y=x^2のグラフをx,y共に正の領域でグラフにし、もしそのグラフがxが負の領域でも同じように振舞うとしたら、yは正であることが期待されます。これによって、(-1)×(-1)=1であることが予測されます。

そもそも四則演算は正の数のために作られた規則で、同じ規則に負の数も従うように負の数を定義したと思うので、正確な証明は不可能だと思います。

と言うのも、数式を出してもその式が負の数にも適用可能なことを証明する為には(-1)×(-1)=1のような基本的な式を仮定しなければいけないからです。

数式での証明なら、示したい式の左辺に(-1)を足してあげて

(-1)×(-1)+(-1)=(-1)×(-1+1)=(-1)×0=0

途中で(-1)でくくりました。

つまり、(-1)×(-1)は(-1)を足すと0になる。よってこの値は1である。と証明できます(ただし、分配法則が負の数でも可能なことは仮定しています。

id:masasan

第一象現と、第二象現の対象性からの説明でしょうか。なるほど、図形的な理解は好きです。

数式での証明もスマートですね。

>分配法則が負の数でも可能なことは仮定

私はよくしらないのですが、これは数学的にそう決まっているのですか?

2005/01/05 10:56:43
id:hal9001 No.6

hal9001回答回数16ベストアンサー獲得回数02005/01/05 10:33:21

ポイント5pt

借金(マイナス1)を無くしたら(マイナス1)...振り出し(0)ってのは?

id:masasan

またケアレスミスでしょうか、(-1)×(-1)=1になっていないように思います。

借金(マイナス1)を無くしたら(×0)...振り出し(0)

(-1)×(0)=0

2005/01/05 11:01:45
id:shampoohat No.7

shampoohat回答回数347ベストアンサー獲得回数02005/01/05 10:40:41

ポイント12pt

http://slashdot.jp/

スラッシュドット ジャパン : アレゲなニュースと雑談サイト

ガウス平面の上で、180゜+180゜=360゜はどうですか?

id:masasan

180゜が-1であるということと、角度の関係上×→+となることをもう少し説明して欲しいですね。

cos(PI)*cos(PI)

展開すると何かになるんですかね。

2005/01/05 11:08:21
id:spherera No.8

スフィア回答回数3ベストアンサー獲得回数02005/01/05 11:04:08

ポイント6pt

http://a.hatena.ne.jp/

はてなアンテナ

5*1=5

4*1=4

3*1=3

2*1=2

1*1=1

0*1=0

の事を考えると

-1*1=-1

となります

同様に考えれば

5*(-1)=-5

4*(-1)=-4

3*(-1)=-3

2*(-1)=-2

1*(-1)=-1

0*(-1)=0

となり

(-1)*(-1)=1

となると思います

id:masasan

帰納的ではありますが、帰納法にはなっていないようです。証明としては不備ですね。

0から-1へ移るとき、多少不安になりますね。なんとなく。

2005/01/05 11:14:42
id:yachi010 No.9

yachi010回答回数7ベストアンサー獲得回数02005/01/05 11:04:21

ポイント7pt

http://www.sony.co.jp/

Sony Japan | ソニーグループ ポータルサイト

5×(-1)=5

である。分配法則から

5×(-1)=(6-1)×(-1)

=(6 + (-1))×(-1)

=6×(-1) + (-1)×(-1)

= -6 + (-1)×(-1)

= -5

となり、この式が成り立つには、

(-1)×(-1)=1

でなければならない。

これで証明終了。

id:masasan

1行目は

5×(-1)=-5

と書きたかったのですね。

> = -6 + (-1)×(-1)

> = -5

> となり、この式が成り立つには、

の文章の部分がまずいかもしれませんね。既に「となり」で自分で決めてしまっている。

個人的な好みかもしれませんが、もうちょっと綺麗なのがいいですね。

2005/01/05 11:21:05
id:nankichi No.10

nankichi回答回数562ベストアンサー獲得回数22005/01/05 12:09:29

ポイント35pt

証明は15−16ページをご覧下さい。

でも、これで納得できますか?

http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/shoseki.html

参考書籍 of 『高校数学+α:基礎と論理の物語』

>いろいろ調べてみて,「負×負=正」を“誰もが極自然だと感じる方法”によって納得させることは不可能であり,やはり,証明を用いた“そのように考えるしかないという,力ずくによる方法”によってしか理解できないと考えるようになりました.

http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/

大学数学へのかけ橋!『高校数学+α:基礎と論理の物語』トップページ

証明うんぬんより、

>そうなるように数学を創る他なかった.

と納得する他ないでしょう。

id:masasan

★1つ目のURL(pdf)。

P15は教科書のもので、回答4.のものと大体同じですね。でもやはり分かりにくいし、いまいち納得いきません。

P16は数学の公理だけから導いたとのこと。なるほど正解ですね。

でもやはり個人的には、aやb等の記号を使わずに説明したもののほうが好きです。

★2つ目のURL。

実は私、数学門外漢ですが高校のときに志賀先生に(-1)×(-1)=1を教えてもらう機会があり、なるほどと納得できちゃいました。とても自然に感じましたね。

数学ってとても面白いなと思いました。

★3つ目のURL。

> そうなるように数学は創られているのだ。文句あっか!

ということ。真意は分かりませんが、それ“だけ”で終わっていいのかな。

回答5.>分配法則が負の数でも可能なことは仮定

とあったのですが、1つ目のURLのP8,P9あたりに分配法則は「実数に対して成立する」公理というような記述がありました。

あと、回答6.で「またケアレスミスでしょうか」と失礼なことを書いてしまいましたが編集上間違えて「たま」が残ってしまいました「ケアレスミスでしょうか」に訂正。私もミスです、hal9001さんゴメンナサイ。

2005/01/05 13:15:01
id:debedebe No.11

debedebe回答回数123ベストアンサー獲得回数02005/01/05 12:27:51

ポイント16pt

http://science3.2ch.net/math/

ようこそボボンハウスへ

もし(-1)*(-1)≠1ならば、

両辺に(-1)を足して(-1)*(-1)+(-1)≠0

両辺を(-1)で割る(A÷A=1(A≠0)、0÷X=0(X≠0)より) (-1)*1+1≠0

すると(A*1=Aと言う性質から)(-1)+1≠0

しかしこれは、負の数の定義に反している。

つまり、仮定は偽であった。よって、(-1)*(-1)=1である。

背理法でやってみましたが、、、ピンとこなければすみません。

id:masasan

いいんじゃないでしょうか。

完璧ではないかもしれないですけど、私的にはOKです。

いろいろやり方があって面白いです。

2005/01/05 13:18:05
id:four_seasons No.12

four_seasons回答回数91ベストアンサー獲得回数42005/01/05 13:00:33

ポイント30pt

URLはpdfです。

ベクトルの記号が入力できないので、Pというベクトルを→Pのように表わすとします。

→A=(-1,0)、→B=(-1,0)なるベクトル→A、→Bを考えます。

一般に→P(a,b)と→Q(c,d)の内積はac+bdですから、

(→A)・(→B)

=(-1)×(-1)+0×0

=(-1)×(-1)・・・(*)

です。

ここで、(→A)=(→B)、|→A|=1より、

(→A)・(→B)

=|→A|^2

=1^2

=1

これと(*)より、(-1)×(-1)=1が示されました。

q.e.d.

……という証明を思いついたのですが、どうも本質的ではないように感じます。

そもそも、私が書いた上記の証明も、「ベクトルの性質から、(-1)×(-1)=1が成り立つべきである」ことを言っているに過ぎず、証明にはなっていません。

URLの説明にあるように、人間が数の概念を拡張する際に、「負の数の乗算について、分配法則(やガウス平面やベクトルやその他もろもろの数学的性質)を満たすべき(満たした方が便利)である」として、新たに定義した、というのが正解ではないかと思います。

ただ、当方高校数学程度の知識しかありませんので、間違っていたら申し訳ありません。

id:masasan

ふむふむ、ベクトルでの証明。おもしろいですねー。

順序としてベクトルの性質からは、証明になっていないとのことですが、私的にはそれもOKです。数学的に厳密なことは、厳密な方にお願いします。

例えて言うと、建物の柱でその土台を支えようとしているようなものということでしょうか。

でも柱の存在自体が、土台の存在を表しているという見方もあるかもしれませんね(文字を操っても無意味かもしれませんが…)。

PDFのP5終わりにまとめがありますが、流れとしてはまず自然数において(分配法則を含む)5つの計算法則がみつかり、そして現在負の数も含めた公理となっているということでしょうか。

ところで回答7.に関連して

(-1)をcos(PI)と置き換えると

(-1)*(-1)

⇒cos(PI)*cos(PI)

【基本公式:cos(x)^2+sin(x)^2=1から】

 =1-sin(PI)^2

 =1

非ユークリッド幾何だと三角関数ってどうなるんでしょうか。知ってる方おられたら、上記を踏まえて私のような素人(高校数学程度)にわかるように教えてください。

2005/01/05 14:16:54
id:garyo No.13

garyo回答回数1782ベストアンサー獲得回数962005/01/05 16:09:30

ポイント20pt

http://d.hatena.ne.jp/garyo/20050105/1104907464

(-1)×(-1)=1 を証明してください。 - ジャンク☆ニュース 臥龍

掛け算というのは

□×○…□を○倍する という意味ですよね。

つまり「×」の前後で意味が異なるわけです。

○倍するというのは○回足すことを意味します。

例1

2×3=2+2+2=6

そのため(−2)を3倍する場合はこうなります。

例2

(−2)×3=(−2)+(−2)+(−2)=−6

では2を−3倍するにはどうしたらいいでしょうか。

ここで「倍」の定義を拡張します。

正数のn倍はn回の加算でしたが

負数のn倍はn回の減算とします。

例3

2×(−3)=−(2)−(2)−(2)=−6

これで負数×負数が計算可能になります。

例4

(−2)×(−3)=−(−2)−(−2)−(−2)=2+2+2=6

例5

(−1)×(−1)=−(−1)=1

id:masasan

とっても、面白いです。

×(掛算)ってなんのなの?

ということを自分で考えると、こういうことも思いつけるんですよね。

定義の拡張ということもあり、完全に厳密な証明にはならないかもしれませんが、とてもしっくりきます。

余談ですが。球の体積の求め方を知らなかった頃、

・10cm四方の箱にぴったり収まる球の体積を求めよ

みたいな問題をみて、無理やり9枚の円盤の面積を足し合わせようと頭を捻ったことを思い出しました。

2005/01/05 17:22:00
id:tittima No.14

tittima回答回数5ベストアンサー獲得回数02005/01/05 19:28:47

ポイント15pt

いままでの演算規則を守るのを念頭におきます。

任意のaに対して、a*0=0が成り立つ。

だから(-1)*0=0も成り立つ

また、(-1)+1=0で、分配法則(a+b)*c=a*c+b*cをつかうと、

(−1)*(−1)+(−1)*1=0

(−1)*(−1)+(−1)=0

(−1)*(−1)=0

めでたし。

########

では、だめですか?

id:masasan

(-1)*0=0

の左辺0に、(-1)+1=0を代入し分配法則を使うという手順ですね。最後の行は

(−1)*(−1)=1と書くはずだったのでしょうか。

1*0=0

1*(1-1)=0

1*1+1*(-1)=0

1*(-1)=(-1)これも示しておくと尚よかったかもしれませんね。

2005/01/05 21:11:48
id:yassu_g No.15

yassu_g回答回数8ベストアンサー獲得回数02005/01/05 23:29:35

ポイント15pt

引き算の概念はその差であるから

資産1円の人と借金1円の人の資産の差は2円とか、

出発地点より手前を-1mとすると出発地点より先1mは2mとかの例から

1-(-1)=2

はしっくりきませんか?

両辺から1を引くと

-(-1)=1

0の概念もとっつきづらいので、あえて差を2にしました。

id:masasan

> 資産1円の人と借金1円の人の資産の差は2円

これはなかなかいいですね。

随分さっぱりしている気がします。

ただ、-(-1)と(-1)*(-1)は同じものなのでしょうか、そこの説明ももう少し欲しいですね。

借金1円の人の資産の差を-(-1)と表せても、(-1)*(-1)と直接には表せないように思うので。

2005/01/06 00:10:41
id:yassu_g No.16

yassu_g回答回数8ベストアンサー獲得回数02005/01/06 02:07:25

ポイント12pt

再度投稿させていただきます。

面白い質問でいろいろ考えて楽しませてもらっています。はてなの回答も初めてですみません。

15において

-(-1)=(-1)*(-1)

はしっくりこないということですが、正負の定義をも二つあると思います。

たとえば 1-1 の-は引くという処理を表しますが、

-1とだけ書くとその数字そのものの状態を表します。プラスも同様です。

同じ-で表現している以上それらを同義とみなした上で数式があるわけです。

つまり1-5=1+(-5)=1+(-1)*5としてもよいというわけです。(注1)

数学の表記方法をとるのであれば、上記同様-(-1)=(-1)*(-1)も問題なしと考えられます。

数式そのものがそれらを個別に表現出来ないわけです。なぜなら多種多様な意味に取れるからです。

初めてプログラムを勉強したとき変数に代入するという概念がうまく理解できませんでした。

なぜならプログラム言語では=イコールをもって代入されるからです。

また小学生の足し算、引き算のイコールの使い方は

処理前(数式)= 処理結果 ということとほぼ同義だったのではないですか?

(例 5+1=6 は正解だが、5+1=3+3とは書かないため)

(注1)

(-5)が(-1)*5になっていますが、借金1の5倍で借金5(つまり-5)で等価だと考えられます。

私はマイナスxマイナス=プラスより数式の方がしっくりこないと感じることが多いです。

id:masasan

なるほど、納得です。再度投稿ありがとうございます。

数式上変らないけれど、その捉え方はいろいろある。例え、一つの数式でもそこに至るいろいろな道筋がある、面白いですね。

答えがあるかどうか分からないというのもリアルで、より実践的かもしれませんね。

>プログラムを勉強したとき

私も少し引っかかりました。記号は同じでも意味が違うのですよね。

プログラム言語では「a←a+b」のようなイメージ。

日本の小学生の算数は「1+2→3」のような感じです。

プログラムに関連して、回答4.の方のリンク先“教えて!goo”回答No.8の方が2進数演算(ビット)での説明を試みています、この手法も人によっては理解しやすいかもしれません。いいアイデアですね。

こちらの回答でも、gooの方でも「ガウス平面で」と限定されている場合がありますが、他の平面では(-1)×(-1)=1を説明できなくなっちゃうんですかね?

2005/01/06 11:07:47
id:exedexes No.17

exedexes回答回数17ベストアンサー獲得回数02005/01/06 11:43:47

ポイント15pt

http://d.hatena.ne.jp/

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  urlはダミーです。

 中学1年生(初めて負の数を学ぶとき)にする説明をやってみますと、

1,正、負の数の説明

 「+3階上がった」は文字通り3階上がることを意味していて、+3=3と考えて良い。

 「−3階上がった」は「+3階下がった」と同じ。−から+に数字を直したとき、それを表していた「動き」が逆に進む。

 つまり正の数に対し負の数は反対に進む数字を示していて、表している数字を+−逆にすると表す言葉が反対語になる。

 「-200円の利益」=「+200円の損失」

 「+3度上がった」=「−3度下がった」

等々

2,正負の数の足し算の説明

 数直線で示しながら足し算と引き算をつかむ。

 数直線で暗黙の内に右に行くと増えて左に行くと減る、という感覚でみることができるように植え付けをしておくと楽。

 以上省略

3,正負の数のかけ算

3-0 前に正の数 × 後ろも正の数

 今まで通りであることの説明および、+の符号が付いた数も同じ事を説明。

3-1 前に負の数 × 後ろ正の数(符号省略の数)

 (-3)*4

 これは「0に-3を4個足した数」なので・・・

0+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12

これは2番で負の数の足し算を学んだ方法で説明したとおりの足し算で、絶対値(途中省略したけど説明済みと言うことで)をかけ算した後負の符号を付ければいいと言うパターン認識を促す。

3-2 前に正の数(符号省略の数) × 後ろ負の数

3*(-4)

 これは「0に3を-4回足した数である」=「0から3を+4回引いた数である」

と変換して0-3-3-3-3=-12

 これも2で説明した引き算および絶対値の積に負の符号を付ければいいというパターン認識を促す。

3-3、前に負の数 × 後ろも負の数

 (-3)*(-4)

「0に-3を-4回足した数」=「0から-3を4回引いた数」

と変換して0-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)=0+3+3+3+3=+12

 これも2で引き算を鍛えた成果で理解させる!

負の数と負の数のかけ算が正になることをパターン認識を促す。

 ってなぐあい。

 結果

(-1)*(-1)=「0に-1を-1回足した数」=「0から-1を1回引いた数」=0-(-1)=1

 と理解しても良いけど、上記の流れでパターン認識をさせてから(-1)*(-1)=+1 を計算作業としてできることをなれさせるのが普通。

 (-1)*(-1)のように一番簡単な数字の方が説明しやすいんじゃないか?と思いがちなのですが、3とか-4の数字の方が説明に向いていると言うところがこの辺りではおもしろいところだったり。

 余録ですが、球の体積はアルキメデス方式で球を内接させる円柱(底面直径と高さが球の直径と同じ円柱)とこの円錐と底面と高さが同じ円錐を考え、円柱:球:円錐=3:2:1の比だけ覚えておく、というのが高等小学生のやりかただそうです^^;

id:masasan

順を追った説明ありがとうございます。

>3-3、前に負の数 × 後ろも負の数

該当部分は回答13.のものとほぼ同じですね。

「3とか-4の数字」の具体性は慣れや感覚的な飲み込みによいですね。

でも(-1)*(-1)=1の綺麗さも捨て難いです。

余談の方、初めて知りました。

>円柱:球:円錐=3:2:1

何でだろう。と考えてみました。

1辺が2の立方体に内接することを考えて。体積の半分は

円柱:y=1の回転体の体積⇒2PI[x^2](1-0)=PI(V=2π∫xf(x)dxより)

円錐:y=xの回転体の体積⇒2PI[x^3/6](1-0)=PI/3

球:y=(1-x^2)^(1/2)の回転体の体積⇒2PI[x-x^3/3](1-0)=2PI/3

確かに体積比率は合っているけど、断面で考えても理由がよく分からない

で、調べてみました。そしたらそのものズバリありました。

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/ball/chinese.html

頭いいですね古代人。

球:合蓋で、πに変換するあたりのアイデア、お見事です。

それを知ってると、上記の断面の考えも自分で解決できました。

縦断面の”面積”を足し合わせたものが体積になるという考えから、関数を二乗するといいんですね。(⇒では関数を2乗して、xの位置でのdxの微小体積比を考えています)

円柱の断面関数:y=1 ⇒ 1

円錐の断面関数:y=x ⇒ x^2 (等体積変形をして断面関数を表しています)

球の断面関数:y=(1-x^2)^(1/2) ⇒ (1-x^2)

なので

1-x^2=(1-x^2)

円柱-円錐=球

しっくりきましたー。

ココを引いた分がココの部分か、と断面の図形的にも納得です。

同じサイトで n次元球の体積なんかも面白かったです。

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/ball/analysis.html

2005/01/07 18:23:39
id:bookstore No.18

bookstore回答回数488ベストアンサー獲得回数22005/01/06 13:50:59

ポイント15pt

http://2ch.net/

2ちゃんねる掲示板へようこそ

複素平面のお話です.

ご存知の通り虚数単位jはj=sqrt(-1)(ルート−1の意味です)で定義されます.

複素平面において,1は実軸+方向へ,jは虚軸+方向を意味します.

ここで1*j=jは1を虚軸方向へ90度回転させたもの.

1*j*j=j^2=−1はそこからさらに90度回転させたもの.

1*j*j*j=j^3=−jはさらに90度回転.

最後に,

1*j*j*j*j=j^4=1はさらに90度回転させたもの.

結果として1に戻ります.

こんな感じでいいですか?

id:masasan

ガウス平面(複素平面)での説明ですね。OKです。

でも、もうちょっとひしゃげた平面などでは三角関数や角度、(-1)×(-1)=1をどう表せるのかなども教えていただけたらと思います。

2005/01/07 18:28:11
id:aska186 No.19

aska186回答回数158ベストアンサー獲得回数02005/01/06 21:17:26

ポイント100pt

http://ja.wikipedia.org/

メインページ - Wikipedia

Ⅰ.ある集合C の元(要素)a,b,c について次の二つの演算を定義する。

加法 a+b は次を満たす。

 ア a + (b + c) = (a + b) + c (結合法則)

 イ a + 0 = 0 + a = a (となるようなC の元0 が存在する)

 ウ a + (-a) = (-a) + a = 0 (-a を a の逆元とする)

 エ a + b = b + a (交換法則)

乗法 ab は次を満たす。

 オ a(bc) = (ab)c (結合法則)

 カ a(bc) = (ab)(ac) (左分配法則)

 キ (ab)c = (ac) + (bc) (右分配法則)

 ク a1 = 1a = a (となるようなC の元1 が存在する)

 ケ ab = ba (交換法則)

Ⅱ.a0 = 0a = 0(…コ)を証明する。

0 = a0 - a0 (ウ)

= a( 0 + 0 ) - a0 (イで a=0)

= a0 + a0 - a0 (カ)

= a0 + ( a0 - a0 )

= a0 + 0 (ウ)

= a0

= 0a (ケ)  q.e.d

Ⅲ.-a = (-1)a (…サ)を証明する。

a + (-1)a = 1a + (-1)a (ク)

= {1 + (-1)}a (キ)

= 0a (ウ)

= 0 (コ)

よって ウ より (-1)a は a の逆元であるから

(-1)a = -a  q.e.d

Ⅳ.(-1)(-1) = 1 を証明する。

サ において a に -1 を代入すると,

(右辺)= (-1)(-1)

(左辺)= -(-1)

= 1 (ウ; -1 の逆元は 1)

以上で証明された。

id:masasan

集合論?での表示で、かなりベーシックなところからの説明。ありがとうございますm(_ _)m

元0の性質を明らかにするところからの入り、垂涎ものです。

厳密な検証は私の能力を超えていますが、数学の公理から数学の言葉での説明。見る限り完全に完璧です。

(公理系内ですが)完全に完璧って、他の学問で思ったことないです。これぞ数学ですね。

2005/01/07 18:53:34
id:IppaiHattena No.20

IppaiHattena回答回数2ベストアンサー獲得回数02005/01/07 15:28:19

ポイント8pt

http://pyramedia.com/

Search the Web

数学ではなく算数でいきます。

----------------------------------------------------------

現在水槽に100リットルの水が溜まっています。

水槽の上部には水道の蛇口、

底には水を抜くための排水溝が付いています。

蛇口を空けると1分間に3リットルの水が水槽に注がれます。

排水溝の栓を開けると1分間に2リットルの水が水槽から出てゆきます。

蛇口は10分前から空けられたままの状態です。

排水溝は30分前から空けられたままの状態です。

現在から20分前に水槽の水は何リットルだったでしょうか。

100+3*(-10)+(-2)*(-20)=110

----------------------------------------------------------

昔、いとこにこの説明を聞いて納得したことがあります。

id:masasan

実用上よさそうですね。実際やってみると実感が湧くかも。

でも、おかあさんから

「水の出しっぱなしはダメ!」とか

「ほらほらあふれてるじゃない、計算と違うわよ♪」とか言われちゃうかも知れませんね。

2005/01/07 19:03:07
id:IppaiHattena No.21

IppaiHattena回答回数2ベストアンサー獲得回数02005/01/07 15:37:30

ポイント1pt

ダミーです

id:masasan

みたいですね。

なにかミスっちゃったんでしょうか。

で一応完璧な回答も出たので閉じようと思います。

ひしゃげた平面などで三角関数や角度、(-1)×(-1)=1をどう表せるのかなども知りたいところですが質問と離れてしまうので、もし教えていただける方がいればいわしでお願いします。

2005/01/07 19:11:06
  • id:aska186
    すみません

    分配法則の定義のところ、書き間違えていました。失礼…
     カ a(b+c) = (ab) + (ac) (左分配法則)
     キ (a+b)c = (ac) + (bc) (右分配法則)
    定義したア〜ケ(公理の部分)のうち、後の証明で使っていないのがありました。
    それを整理して必要部分だけで説明したものが、ちょうど nankichi さんの回答の1つ目に出てきた pdfのP16 に当たると思われます。
    厳密に数学的な証明を求めるとすれば、どの範囲の事柄を前提とするのか(公理)を定めないと話が始められないわけです(ベクトルや複素数を使った証明はこの点が少し引っかかります)。
    ただ、負の数の掛け算に初めて触れる中学生に説明するようなときは、数を数直線上の0点からの向きと大きさ(ベクトル)として把握し、掛け算は、大きさの掛け算&負号を掛けるときは向きを反転する、と定義するのが分かりやすいのではないでしょうか?
  • id:masasan
    いいんじゃないでしょうか

    元の性質とか分るし、たぶんまとまった公理系なんですよね。

    私としては、符号の反転だと多分引っかかると思うので(なんで反転なの?)分配法則で華麗な煙に巻いて欲しいです。
  • id:aska186
    “反転”でがんばると…

    正の数は 0点,正の向き,大きさ を決めれば定まります。負の数というのは 0点から向きを反転させて大きさをとる と考えられますから、負の数の定義と負の数の加減乗除が一律“反転”で理解できる、と思っています。引っかかりそうな“反転”を、逆に定義にしてしまうわけです。
  • id:masasan
    Re:“反転”でがんばると…

    なるほど、負のエリアは自然数の反転世界と考えればよいのですね。
    その際のお約束は+プラス(正では省略されている)を-マイナスに書き換えればよいと。面白いですね。

    折角なのでちょっと関連ありそうなリンクも張っておきます。
    ・ウィキペディア「自然数」
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
    ・はてな「1+1=2の証明について」
    http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
  • id:exedexes
    正負の足し算の説明補足

    17番で解答した者です。
     ある程度の足し算の説明を付けておかないと少し納得がいかないので説明させてください^^:
     特に今回の説明に必要不可欠な部分後ろから負の数を足したりひいたりするもの。

     1+(-3)=「1に-3を足す」=「1から+3をひく」=1-3
     1-(-3)=「1から-3をひく」=「1に+3を足す」=1+3

     と言う説明で最初は理解させます。
     ココでのポイントはとくに-(-1)が+1になることは、上記のように負の数の性質、として片づけてしまうこと。
     決して「実はこれかけ算だから・・・」なんて説明は最初には行いません。
     結果として-(-1)などの表示はパターン認識、もしくは上記のような考え方で処理をし、これがかけ算だと気が付くのはかけ算を学んだ後の分配法則、もしくは文字式の辺りまで保留にしておきます。(大半はその前に気が付いてしまうんですけどね)

     自らの納得のために補足させていただきました^^;
  • id:exedexes
    球の話

    ツーホンズーの示し方は初めて見ました・・・。
    「体積を出してふーんこんな比になるんだ。」程度の認識汗

    f次元球の話は・・・大学で物理を習うとなんだかそこかしこで扱いました。変数変換とγ関数は楽しいですね。
    f次元の球と言えば、これが内接するf次元立方体を考えるのがおもしろいです。
    2次元にて。直径1cmの円、   一辺1cmの正方形、   この対角線はルート2。
    3次元にて。直径1cmの球、   一辺1cmの立方体、   この対角線はルート3。
    4次元にて。直径1cmの4次元球、一辺1cmの4次元立方体、この対角線はルート4。
    ・・・
    球の直径は変わらないけど対角線はどんどん長くなるという不思議なんて話がおもしろかったり。
    fが大きいと全ての面に内接し、しかし対角線と比較したら円の直径はものすごく小さい・・・
     これはf次元球がどうのよりもf次元立方体が実はものすごくとがっている(?)事を示す話だったと思いますが、高次元の話は理解しにくいっすね。
  • id:masasan
    Re:正負の足し算の説明補足

    > 1+(-3)=「1に-3を足す」=「1から+3をひく」=1-3
    > 1-(-3)=「1から-3をひく」=「1に+3を足す」=1+3
    日本語で結ぶとなんとなく、なじみ易いですね。

    > 結果として-(-1)などの表示はパターン認識、もしくは上記のような考え方で処理をし、これがかけ算だと気が付くのはかけ算を学んだ後の分配法則、もしくは文字式の辺りまで保留にしておきます。(大半はその前に気が付いてしまうんですけどね)
    分配法則を学んでも、(-1)×(-1)=1には気付かない私は(って普通は気付きませんよね)その後しばらくして、あっそうだったのかー!と感動でした。
  • id:masasan
    Re:球の話

    γ関数とか留数とか少しやった気がしますが、使わないので忘れちゃいました。
    もし使うことがあったら、そのとき勉強しなおしです。
    頭の体操ということで、昔を思い出し…というのもよいかも。

    >f次元立方体
    >対角線はどんどん長くなるという
    (半径rのn次元球の体積はV = (rπ^(1/2))^n/Γ(n/2 + 1)ということだったので)
    内接球と外接球の体積比を考えると(√f)^fとなって高次元で発散しちゃうのですね。
    つまり立方体も次元が高くなるにつれ広々と自由に振舞えるのかな、なんて思いました。f次元立方体の面の数なんてトピックスも、どこかにあったように思います。

    次元が増えると自由度あがるので、いろいろ説明できるのかも。
    物理現象は最低何次元なら、統一的に説明できるのか気になるところです。
    今の見通しだと何次元あたりなんだろう。
  • id:will0
    言葉の数学

    わたしが小学生の頃、父親に受けた説明ですが

    居るが1、居ないが−1
    有るが1、無いが−1で
    「あなたの居ない(−1)x時が無い(−1)=あなたが居る(1)」

    うろ覚えですがこんな感じの説明を受けて納得させられた記憶があります
    かなり即答で返されてすごく不満で当分一人の時の空想ネタでした。
  • id:masasan
    Re:言葉の数学

    回答6.の方とちょっと近いでしょうか。
    >借金(マイナス1)を無くしたら(マイナス1)...
    回答としてはミスしてしまって、説明も足りなかったのでポイント低いのですが(私も連続ミスしてます)。アイデア的には面白いなと思っていました。
    他の回答で触れた2進数演算(bit)的な考え方とも通じるかもしれません。
    1と0でなく、1と-1の2値を考え-はbit反転と捉えると、いけるかもしれないです。


    さて、なかなか素敵なおとうさんですね。
    >わたしが小学生の頃、父親に受けた説明ですが
    >
    >居るが1、居ないが−1
    >有るが1、無いが−1で
    >「あなたの居ない(−1)x時が無い(−1)=あなたが居る(1)」
    きちんと1と-1の2値でサラッと答えています。
    「あなたの居ない」なんて詩的ですね。思わず花占いとか思い起こしちゃいました。
    「あなた」は誰だろう?と想像するに、きっと小学生の娘?(will0)さんで。
    そう思うと「居るが1、居ないが−1」などの何気ない一言一言から、おとうさんの愛情が切ないくらい伝わってきちゃいます。
    「あなたが居る(1)」という答えが、いいですね。

    >かなり即答で返されてすごく不満で当分一人の時の空想ネタでした。
    いいですね。
    大人になっても、たまに空想の世界を思いだしたりする時。いいですよね。

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