[tex: e^{i¥pi}+1 = 0]

自然対数を(虚数×円周率)乗して1を足したらゼロになる等式が美しいと仮定して、どうして美しいのか理由を教えてください。

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  • 登録:2005/01/15 21:43:20
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回答(6件)

id:load No.1

load回答回数17ベストアンサー獲得回数02005/01/15 21:48:39

ポイント15pt

e,π,i,1,0

いずれも数学での最も基本的な定数です。

πは円周率、eは自然対数から求められてなんの関係もないと思われた値にこんな簡単な関係式が存在する事自体が奇跡のような話です。これほど簡潔で美しく謎めいた式は他に存在しませんね。

id:satosu

美しい理由に、「簡潔だ」ってことがあるのかな。感謝です。謎もポイントかなぁ。

2005/01/15 21:52:31
id:cigue No.2

cigue回答回数75ベストアンサー獲得回数02005/01/15 21:52:34

ポイント15pt

オイラー公式ということでいいんですかね?

e^{i¥theta}=¥cos{¥theta}+i¥sin{¥theta}

初等関数と呼ばれるものにsinとcosや指数、対数があり、数の中には実数と虚数があります。

この公式によって、それらが実はオイラー公式で結びついているからです。

今まで負の数は引数に取れなかった対数は、虚数を導入することによって負に対しても定義可能になり

また今まで関係ないと思われていた(eの)指数が実は三角関数と結びついていることが分かったからです。

さらにこれらを導入すると、sinh(x)とcosh(x)が、単にsin(ix)とcos(ix)であることなども分かります。

id:satosu

んー、いいっちゃぁいいです。ダメっちゃぁダメですけど、theta=piのときに出てくる等式を指して言っています。

自然対数を含む「初等関数」と、虚数を含む「数」とを結びつけているから、美しいのか。

もたらす効果っていうか、世界が開けるところが美しい理由かな。ありがとうございます。

2005/01/15 21:57:25
id:oppeke05 No.3

oppeke05回答回数139ベストアンサー獲得回数02005/01/15 21:54:21

ポイント15pt

たしかオイラーの等式ですよね

何の関係もなさそうな無理数が2つ、そして虚数が結びついて等式になっているからだったと思います

id:satosu

等式を構成している要素の意外性と、その関係が美しいのか。

2005/01/15 21:58:49
id:shampoohat No.4

shampoohat回答回数347ベストアンサー獲得回数02005/01/15 21:58:49

ポイント20pt

http://members.jcom.home.ne.jp/stolatos/essay/math.htm

ここでは数学の嫌いな人には申し訳ありません

例えばこのURLで、「美しい」ことについては、良くまとまっているかと思います。

id:satosu

不思議さが、美しさの要素かな。自然の奥の深さにまで思いを馳せるきっかけになっちゃうあたりは、美しい理由になるのかならないのか、ちょいわからず。どっちだろうね。

2005/01/15 22:03:24
id:siigimaru No.5

siigimaru回答回数556ベストアンサー獲得回数52005/01/15 22:07:22

ポイント5pt

証明とかで、きちんとまとめられると。

文章よりも、美しく感じます。

数学や物理等で、すっきり証明できると自文も嬉しくなります。

ここも美しいです。

id:satosu

きちんとまとめられることが、美しさの理由?

それとも、美しさに理由なんかないよーっていう示唆かなぁ。

2005/01/15 22:19:02
id:wintertree No.6

wintertree回答回数188ベストアンサー獲得回数02005/01/15 22:11:11

ポイント20pt

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/410401303X/hatena-q-22

Amazon.co.jp: 博士の愛した数式: 小川 洋子: 本

この本を読めば分かるでしょう。

この本を読めばもっと良く分かります。

ここに詳しい解説が載っています。

やっぱり、e、i、πなどの数学の重要な数がこのように単純な等式にまとまるところが美しいのだと思います。

id:satosu

最初の本は読みました。設定がぶっとんでると思うところがありました。美しさの理由はよくわかりませんでした。博士は美しいって思ってるのねってところはよくわかりました。あと、ルート君のお母様も美しいと感じているのね。

2つめのは読んでません。ここに理由があるかしら。

最後のurlからは、美しい理由は見出せませんでした。

回答のコメント文が最も参考になりました。感謝。ごめんね。3つも出してくれたのに2つは参考にならなかったよ。お手数かけました。

だいたいわかりました。なんだかんだいって、この式は美しいと、そういう結論でいいや。

2005/01/15 22:24:31
  • id:snobby
    すごいなあ

    wintertreeさんのあげた3つ目のURLがいいですね〜。これなら、わたしにも(なんとなく)わかります。
    誰も、πとeとiがこんなにカンタンにむすびつくなんて、三角関数と自然対数と虚数がむすびつくなんて想像つかないですよね。
    虚数とはいいながら、存在していることがこの公式からあきらかなわけですし。
    オイラーってすごい!!
    http://www.d9.dion.ne.jp/~sugs/text/eipi_1_0.html
  • id:satosu
    Re:すごいなあ

    >wintertreeさんのあげた3つ目のURLがいいですね〜。これなら、わたしにも(なんとなく)わかります。
    >誰も、πとeとiがこんなにカンタンにむすびつくなんて、三角関数と自然対数と虚数がむすびつくなんて想像つかないですよね。
    >虚数とはいいながら、存在していることがこの公式からあきらかなわけですし。
    >オイラーってすごい!!

    んー、そうなのかぁ。美しいのか。
    どの辺がどのように美しいのかサッパリの私。理解できないまま一生を終えそうです。ちょっと悲しいっす。
  • id:toresebu
    オイラーもすごいけど、テイラー展開を生み出したテイラーさんもすごい。
    三角関数を複素数の範囲にまで拡大してしまう辺り、さすが数学といった感じがする。
    何でも考えれることはやってしまおうという数学の捉え方(これがなければ複素数なんてものは生まれなかったでしょう)は、数学嫌いの人には理解されないのでしょうね。

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