フェルマーの定理「nが2より大きい自然数ならば,x^n+y^n=z^nとなる整数x,y,zの組は存在しない」を証明の中で使うなるべく有名な定理を教えてください。

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id:miku1973 No.1

yoshifuku回答回数35ベストアンサー獲得回数02005/03/05 10:56:42

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ワイルスの定理(フェルマーの予想)

[1994年9月19日、A.Wiles,R.Taylor]

『3乗数は3乗数2つの和にならないし、

4乗数は4乗数2つの和にならない。

一般に2より大きい冪についてはいつもそうである。』

Ⅰ部

フェルマーの予想は、

(1)楕円曲線

(2)保型形式

(3)ガロア表現

と結びつけることによって、以下の2定理に帰着されます。

(4)L進表現の保型性についての定理★

(5)保型的な法L表現のレベルについての定理★

(1)と(2)を結びつけるのが「谷山・志村予想」で

『有理数体上の楕円曲線は全部保型形式に対応する』

というものです。

Ⅱ部

(4)を証明するために以下を導入します。

(6)保型形式 ⇒ヘッケ環

(7)ガロア表現⇒変形環

ヘッケ環と変形環を使って可換環の2定理を導くと(4)は

(8)ヘッケ加群とセルマー群の問題

に帰着されます。(8)の証明は以下の2つの性質の証明に帰着されます。

(9)保型形式 ⇒ヘッケ環⇒ヘッケ加群

(10)ガロア表現⇒変形環 ⇒セルマー群

セルマー群とは「イデアル類群を一般化したもの」と考えればいいのですが、

特に定義の為に膨大な準備が必要です。

セルマー群の元の個数=ゼータの値

という等式が証明できれば谷山・志村予想が証明できます。

ゼータの値はヘッケ加群から求めることができ

(4)が証明されたことになります。

これに関係するのが「岩澤理論」です。

Ⅲ部

全体の基礎となっている

(11)保型形式に伴うL進表現の構成

と(5)を証明する。

(4)(5)が証明されたのでフェルマーの予想は証明され、

ワイルスの定理となったのですね。

有名な定理としては、「★」の部分の2つでしょうか。

id:adan

詳しく解説していただいてありがたいのですが、たぶん、私の質問を読み間違えておられるように思えます。

私が知りたいのは、フェルマーの定理の証明に冠することではなくて、フェルマーの定理の応用に関することなのです。

よろしくお願いします。

2005/03/05 11:35:33

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