√2^√2(√2の√2乗)は無理数なのでしょうか、それとも、有理数なのでしょうか。

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回答(3件)

id:kaoru290 No.1

kaoru290回答回数195ベストアンサー獲得回数02005/03/05 12:47:30

無理数です。手元の工業電卓ではそう出ました。

id:adan

そうですか。

2005/03/05 12:51:03
id:Sato7 No.2

Sato7回答回数91ベストアンサー獲得回数02005/03/05 13:11:44

http://a.hatena.ne.jp/Sato7/

はてなアンテナ

無理数ですけれど、証明はなかなか厄介ですね。初等的にはちょっと厳しい気がします。

id:adan

そうですか。

2005/03/05 13:22:51
id:aki73ix No.3

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272005/03/05 13:50:07

ポイント60pt

√2の√2乗は2の0.5乗の√2乗なので

2の1/√2乗です

2^√2は超越数ですから

(2^1/√2)x(2^√2)=1で

2^1/√2も超越数になります(つまり無理数)よって√2の√2乗は無理数です

2^√2が無理数で超越数であることは

ヒルベルトの第7問題「種々の数の無理性と超越性」によって提起され1934年にゲルフォントやシュナイダーによって証明されました

ちなみに、無理数を無理数乗すると有理数になることがあります

例えば、(√2^√2^√2)=√2^(√2X√2)=√2^2=2

となるのがいい例です

id:adan

なるほど。ありがとうございます。

2005/03/05 13:57:21
  • id:kinop
    もっと簡単に

    指数法則から解説します。
     n      x
      √a = a
    とおいて、根号を外します。
    n n x n
    √a =(a)
    1 nx
    a =a
    となるので
      nx=1 したがって  x=(1/n)

    与式をxとするとx={2^(1/2)}^(1/2)=(2)^{(1/2)2^(1/2)}=2^(√2/2)

    log X = 2^(-1/2)
    2

      (log x)^(-1/2)=2
    2

    (-1/2)(log X)=2
    2

    log X = -4
    2

    X= 2^(-4)

     (補足 √2)
    4
    という表記も可能ですが。
    という4重根号の無理数になります。
      
    強引入ってますがこんなところでしょうか。
  • id:dasm
    三番目の回答者は詐欺師です

    人力検索で有名な、でたらめな回答でポイントを騙し取る詐欺師なので気をつけて下さい。
    回答は間違いです。証明になっていません。
    有理数であると仮定して簡単に矛盾を導くことができます。
  • id:shampoohat
    1番目の回答者さんの工業電卓

    すげぇ!
    どんなのか、想像が膨らむ!!!!!
  • id:smoking186
    間違い。

    なんだか変ですね。
    ズレを好意的に解釈すると
    >log_{2} X = 2^(-1/2)
    >(log_{2} X)^(-1/2) = 2
    までは良いですが、この次が変です
    > (-1/2)(log_2 X)=2

    で、3番はリンク先含め指数法則を間違っています。
    a^b * a^c = a^{b+c}です。
  • id:smoking186
    Re:間違い。

    2^{¥sqrt{2}}が超越数であることを使っていいのなら、dasm氏のいうような背理法で出来ますね。
  • id:kinop
    Re:間違い。

    >なんだか変ですね。
    >ズレを好意的に解釈すると
    >>log_{2} X = 2^(-1/2)
    >>(log_{2} X)^(-1/2) = 2
    >までは良いですが、この次が変です
    両辺を(-1/2)乗して、
    対数に累乗がついた場合は乗算となるので
    変形して、このようにしたのですが、まちがってますかね?
    >> (-1/2)(log_2 X)=2
    >
    >で、3番はリンク先含め指数法則を間違っています。
    >a^b * a^c = a^{b+c}です。
  • id:kinop
    片方は変で片方は間違いという表記でお願いします。

    当方、自力で証明を試みましたが
    間違いと変(疑念アリ)というのは大きく異なっています。
    タイトル一つで当方の解法も間違いという指摘かと思いました。
    当方の解は変ということでよろしいですね?
  • id:kinop
    逆算

    X,Y,A,Bを代数として用いる。さらに
    X>0とおく、
    X^Y=Aとする。X>0よりA>0である。
    A^Y=Bとする。A>0よりB>0である。
    Y√B=Aである。さらにY√A=Xであるので、
    4√2=(√2)^(√2)が成り立つ。
    ・・・、のではないかと・・。(^^;)
  • id:smoking186
    Re(2):間違い。

    底をaとする対数を以下、log_{a}と表記します。
    (log_{2} X)^(-1/2) ≠ (log_{2} X^(-1/2)) = (-1/2) (log_{2} X)

    あなたの論法でいくと、
    与式をxとおく
    →両辺、底を2とする対数を取って、
      log_{2} x = 2^{-1/2}
    →両辺、{-1/2}乗して、
      (log_{2} x)^{-1/2} = 2
    →対数に累乗がついて乗算になるので(ここから間違い)
      (-1/2) (log_{2} x) = 2
    →よって
      log_{2} x = -4
    →よって
      x = 2^{-4} = 1/16
    2^x乗のグラフを書いて見ると簡単ですが、間違いに気付かれるかと。
  • id:kinop
    初歩的ミスでした(^^;)ありがとうございます

    >底をaとする対数を以下、log_{a}と表記します。
    >(log_{2} X)^(-1/2) ≠ (log_{2} X^(-1/2)) = (-1/2) (log_{2} X)

    そう、ここの一行が自分でもウロで気になって逆算してみたんですけど
    (1ogxxx)^A=A*(1ogxxx)と同義でなさげという気がしてたのですが
    10年ぶりくらいにやったもので、スミマセン。ご指摘ありがとうございます。
    >
    >あなたの論法でいくと、
    >与式をxとおく
    >→両辺、底を2とする対数を取って、
    >  log_{2} x = 2^{-1/2}
    >→両辺、{-1/2}乗して、
    >  (log_{2} x)^{-1/2} = 2
    >→対数に累乗がついて乗算になるので(ここから間違い)
    >  (-1/2) (log_{2} x) = 2
    >→よって
    >  log_{2} x = -4
    >→よって
    >  x = 2^{-4} = 1/16
    >2^x乗のグラフを書いて見ると簡単ですが、間違いに気付かれるかと。
    一行目で納得です!(笑)いやぁ、数学ってやっぱり楽しいですね。
    ありがとうございます
  • id:aki73ix
    Re:間違い。

    > (2^1/√2)x(2^√2)=1で

    すみません ここ、間違ってますね(^^;
    単に2^√2が超越数で無理数なので
    その平方根 √(2^√2)が無理数であるといえばよかっただけですね


    あと・・・・・

    > 例えば、(√2^√2^√2)=√2^(√2X√2)=√2^2=2

    これは、括弧の場所のミスで、(√2^√2)^√2 です
    (√2^√2^√2)だと、√2^(√2^√2)に見えちゃいますものね
    ここで使う、指数法則は (a^b)^c= a^(bxc) です
  • id:dasm
    Re(2):間違い。

    >単に2^√2が超越数で無理数なので
    >その平方根 √(2^√2)が無理数であるといえばよかっただけですね

    は? 初めからそういう問題ですが?
    言い訳すら間違えるなんて、恥ずかしいにも程がある。
  • id:smoking186
    Re:間違い。

    >なんだか変ですね。
    >ズレを好意的に解釈すると
    >>log_{2} X = 2^(-1/2)
    >>(log_{2} X)^(-1/2) = 2
    >までは良いですが、この次が変です
    >> (-1/2)(log_2 X)=2
    いまさらながら良くないよ(;´Д`)
    (log_{2} x)^{-1/2} = (2^{-1/2})^{-1/2} = (2^{-1/2 * -1/2}) = 2^{1/4} ≠ 2

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