数学の積分です。

詳細は↓
http://pub.idisk-just.com/fview/kSSFTtBHSR7B98qv3bYCgyhGLjXXoiEoMlo5brRtMiguxvRmxA8sruhsjxIJgFgy/Mg.GIF

これはどのように展開できる(計算できる)でしょうか?
途中計算も含めてお願いします。

a、bは定数です。

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回答(6件)

id:Randa No.1

Randa回答回数156ベストアンサー獲得回数02005/03/07 21:59:04

http://d.hatena.ne.jp/Randa/

人の背中は見えるが、自分の背中は見えない

√(1−xx)

=(1−xx)の1/2乗

=1/2*(-2x)(1−xx)の1/2乗

=-x/(1−xx)

となる。(書き直さないと分かりにくいですが)

あとは定数を入れたらおしまい。

id:miku1973

ごめん、ちょっとわかりにくいです。

インテグラルないし・・・。

2005/03/08 06:02:28
id:cigue No.2

cigue回答回数75ベストアンサー獲得回数02005/03/07 22:06:33

x=¥sin{¥theta}

とおくことによって、ルート内が¥cos{¥theta}に、dxが¥cos{¥theta}d¥theta になります。

これに三角関数の公式を使って次数を減らしてあげれば積分できます。

ただし、0<a,b<1である必要があります。

id:miku1973

ごめんなさい!

私のリクエストは、「途中計算も含めてお願いします。」です。

2005/03/08 06:03:20
id:matsu911 No.3

matsu911回答回数136ベストアンサー獲得回数02005/03/07 22:08:45

x=sint (-π/2<=t<=π/2)とおく

dx=costdtとなるから

I=∫(cost)^2dt=1/2∫(1+cos2t)dt

ここでt=sin-1x(インバース)を代入して

I=1/2sin-1x+1/2x√(1-x^2)

あとはI(b)-I(a)をすればOK

id:miku1973

答えまで導いて下さった方はいない??

2005/03/08 06:04:08
id:g-h No.4

g-h回答回数38ベストアンサー獲得回数02005/03/07 22:39:12

http://www.sundai.ac.jp/

ようこそ駿台ホームページへ

URLは広告でもなくダミーです

表記はTeXに準拠しているはずです。

x=¥cos{}t とおくと、

(1-x^2)^(0.5)=¥sin{}t

となり、

a=¥cos{}α, b=¥cos{}β であるとすると

式全体では

与式=-¥int^{β}_{α}sin{}^(2)tdt

となり、どうにかこうにかとけるはずです。

そもそも、(1-x^(2))^(0.5)自体、グラフにすると半径1の円の上側の半円を示すので、

その事を念頭に置いてとくことも可能です。

id:miku1973

「¥」の意味は何でしょう?

2005/03/08 06:05:43
id:wtnb18 No.5

wtnb18回答回数15ベストアンサー獲得回数02005/03/08 00:22:19

ポイント10pt

まず、非積分関数を実数の範囲に留めて置くために、

 -1<a<b<1

とします。

次に、

 x=sinθ

と置換します。

すると、

 dx=cosθdθ

 √(1-x^2)=cosθ

となるので、

被積分関数は

 (cosθ)^2

となります。

ここで、二倍角の公式より

 (cosθ)^2=(cos2θ+1)/2

と表し、

これをθについて積分すると、

 θ/2+sin2θ/4

となります。

この式のθをxに直すと

 arccosx/2+x√(1-x^2)/2

となるので、

答えは

 (arccosb-arccosa+b√(1-b^2)-a√(1-a^2))/2

です。

※注

^2は二乗を表し、arccosxはx=cosθのときのθの値を表します。

id:miku1973

お、これはいい感じです。

かなり参考にさせていただきます!!

2005/03/08 06:06:44
id:Wutugu0276 No.6

Wutugu0276回答回数99ベストアンサー獲得回数22005/03/08 00:45:09

ポイント80pt

x=cosθ(0≦Θ≦π)とおいた置換積分でよいのでは?

とりあえず、不定積分の計算ですが、

∫√(1-x^2)dx

=∫√(1-(cosx)^2)dθ(dx/dθ) …①

=∫√(sinθ)^2(-sinθ)dθ

=∫(-(sinθ)^2)dθ

=∫((cos2θ−1)/2)dθ …②

=(sin2θ−2θ)/4

これで原始関数を求める事ができたので、後はこれをa=cosαなるαからb=cosβなるβまで積分すればよいのです。

具体的にいうと、a=-1/2、b=1/2であるのなら、求めた原始関数を2/3πから1/3πまで積分して、π/6+√3/4となります。

もっとも、この関数のグラフは原点を中心とする単位円の上半分なので、それさえ知っていれば幾何的に解けますが。

①:ここでx=cosθとおいて置換しています。積分する変数を変換するのも忘れずに(後半部)

②:倍角の定理を逆に用いて、sin^2(積分しにくい)をsin(積分しやすい)に変えています。

  場合分けが必要ないのは、最初に決めたθの範囲ならばsinθ≧0だからです。

  この範囲でもcosθは-1以上1以下の全ての範囲を取り得ます。

id:miku1973

皆様ありがとうございました。

アドバイスをもとに、以下のようにまとめました。

http://pub.idisk-just.com/fview/kSSFTtBHSR7B98qv3bYCgyhGLjXX...

誤りがありましたご指摘ください。

いただいたアドバイスですが、

私的に最も優れていたと思うのは、x=sinθではなく、x=cosθと置いてくれた方ですね。

後者だと計算過程で絶対値が出てこなくてすみますから。

そして、事実上答えまで導いてくれた方。

Wutugu0276さんが最高の答えでした。

とり急ぎお礼まで。

2005/03/08 09:19:50
  • id:Wutugu0276
    まとめた内容ですが

    積分する変数をx→θと置換した所で、積分範囲が間違っています。
    a=cosα、b=cosβなので、置換後の積分の範囲をcosα〜cosβにするのは
    積分範囲をa〜bにするのと何ら変わりなく、このままでは積分範囲だけ置換されない結果になってしまいます。
    xをaからbまで動かすことはcosθをaからbまで動かす事に同じで、それはさらにθをαからβまで動かす事と同じです。
    置換後の積分の式はあくまでも「θに関する積分」なので、積分範囲もθの動く範囲なのです。

    というわけで、置換後の式でcosα、cosβとなっているところ全てをそれぞれα、βと書き換えてやれば大丈夫なはずです。

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