五次以上の方程式に解の公式がないことの証明を分かりやすく解説したサイトがあれば教えてください。

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回答(3件)

id:stnet No.1

stnet回答回数804ベストアンサー獲得回数342005/03/16 13:05:52

ポイント25pt

んんん、証明は載ってますがわかり易いのかな??

id:adan

ありがとうございます。

でも、概略のようですし、分かり易くはないですね。

2005/03/16 17:06:29
id:blizzard197101 No.2

blizzard197101回答回数149ベストアンサー獲得回数02005/03/16 16:08:36

ポイント25pt

上のURLに詳細な説明があります。

確かに、5次方程式の一般解(解析解)は求められなさそうですよね。数値計算ならいざ知らず。

id:adan

ありがとうございます。

2005/03/16 17:07:17
id:siigimaru No.3

siigimaru回答回数556ベストアンサー獲得回数52005/03/16 17:02:28

ポイント10pt

アーベルの定理だと、解が無いんですが・・

 ガウスが1799年に証明した代数学の基本定理によって、n次方程式はnがどんな値のときでも、複素数の範囲で根の存在は保証されていますが、ここでは、根の公式(根を係数で表す式)の存在について触れることにします。

 2次方程式は紀元前二千年頃のバビロニアで、3次方程式、4次方程式は16世紀になって(1515年〜1540年ころ)それぞれファンタナ(タルタリアというのはどもる人という意味で彼のニックネームだった)、フェラーリによって肯定的に解かれ、根の公式が求められています。フェラーリは次数4の方程式は2次方程式と3次方程式に帰着させることができ、したがって平方根と立方根によって解けることを発見しました。

 そこで、次の問題は5次方程式:ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex+f=0の代数的解法、すなわち四則演算+,−,×,÷と根号√, 3√, 4√,・・・によって解を求めることでした。いまからほとんど4世紀も昔の問題です。5次方程式の根の公式に対してはオイラーやラグランジュなど多くの数学者が挑戦したのですが、だれ一人として成功しませんでした。ラグランジュは4次方程式と同様の方法を5次方程式に試みて失敗したのですが、じつはこれには正当な理由があり、そもそも不可能な問題であったのです。

 一般に、n次方程式:

an xn +an-1 xn-1 +・・・+ a1 x+a0 =0

に対してx’=x+an-1 /nan と変換するとxn-1 の項が0である方程式に還元できます。ではもっと低次の項の係数を0にできないか?と考えて、チルンハウスとその弟子たちは、一般の5次方程式をx5 +ax+b=0まで還元しました(チルンハウス変換)。ここで、a=0ならば−bの5乗根としてxは求まるのですが、しかし、さらにa=0にしようとすると、6次方程式を解く必要が生じて、問題がかえって難しくなってしまいます。

 結局、19世紀になってから、5次以上の一般代数方程式は代数的に(四則と累乗根によって)解けないことが、二人の若い数学者、アーベルとガロアによって否定的に解かれ、根の公式は存在しないことが証明されています(→【補】)。肺結核に侵され不幸にして夭折した天才アーベル、そして当時の数学界に受け入れられなかった悲劇の天才ガロアはわずか20才の1832年に決闘にたおれたことはあまりにも有名な悲話になっています。

でも、解はあるかと思われます。

id:adan

2005/03/16 17:09:44

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