以下のゲームにて効率良く勝つ方法を検討ください。

この条件で絶対勝つ方法はないです。一万円かけるには、場代込みで一万二千円いる。

この時に期待値は3,0000*4/10+0*6/10=12,000

であるから一万二千円出しても平均的には一万二千円返ってくるから、確実に増やす方法はないです。

勝率が4割であるため、5回に2回は勝つ確立となります。よって最低でも4回勝負をすれば1階勝ち、5回目も確率的には勝ちます。

1回の掛け金を2万円として5回勝負すると、

2万円×3倍×2回=12万円で最低でも4回目に勝つので1200円以下にはならず5回で12万円

これを3回やると15回で16万円

今度機3万円に上げて5回やると

3万円×3倍×2回=18万円。計24万円

20回で達成

先ず、連続で負ける確立を求めました。

1連続 60 %

2連続 36 %

3連続 21.6 %

4連続 12.96 %

5連続 7.776 %

6連続 4.6656 %

7連続 2.79936 %

8連続 1.679616 %

下記の方法は、8連続以上負けると破綻しますが、その確立は2%以下であると思われます。

絶対負けないかけ方として、「倍掛け」がありますが、これは資金が無限にある場合に有効です。

質問では資金が10万円ですので、それを超えない範囲で少しづつ利益を得る方法を試算しました。

回数　掛け金　手数料　今回損失　累計損失　返金　利益

1　　1000　　200　　　1200　　　1200　　3000　1800

2　　2000　　400　　　2400　　　3600　　6000　2400

3　　3000　　600　　　3600　　　7200　　9000　1800

4　　5000　　1000　　　6000　　13200　　15000　1800

5　　8000　　1600　　　9600　　22800　　24000　1200

6　　13000　2600　　　15600　　38400　　39000　600

7　　22000　4400　　　26400　　64800　　66000　1200

8　　37000　7400　　　44400　109200　　111000　1800

このように、1000円単位で次回勝ったときに利益が出る最低金額を求めました。

7回目までに利益が出れば600円～2400円の範囲で利益が出ます。

(8回目は、累計損失が109200となりますので10万円をオーバーします。)

利益が出た時点で1回目の掛け金に戻ることとします。

これを1ターンとします。

1ターンの平均利益が1542.857円ですので、10万円を20万円にする、つまり10万円儲けるためには、約65ターン必要です。

65ターンのうちに2%以下の8連続負けを引かなければ、この方法は成立します。

1ターン平均3ゲームとすれば、195ゲーム必要です。

上記の方がご指摘のとおりこの場合どんな賭け方をしても期待値は０なので、小額を何回も賭けていくと１０万円前後に落ち着きます。よって回数を考慮すると、

元金：Y（１０万円）

掛金：X

勝ったときの儲け：１．８X

なので、

２Y(２０万円）＝Y+１．８X

とすると、

X=Y/１．８＝５５５５５．５５５５６

となるので、結論として

１回で５５５５６円賭けるという事ですね、これで４割の確率で２０万円になります。

注意：期待値はどう賭けても０なので目標金額が高いほど元金が０になる確率は上がります。

趣旨とは違うと思いますが、効率だけを求めるなら

初回に56000ぶち込みます。(というか男なら!!)

説明するまでもなく40%の確率で勝ち、資金は1ターンで

56000*3+(100000-1.2*56000)=200800

となります。

負けたら32800持っておとなしく帰ります。

先ほどの回答について、訂正します。

「次回勝ったときに利益が出る最低金額」という観点から、掛け金を手入力して調整しており、表部分に誤りがありました。2回目の掛け金も1000円であり、以下下表のとおりとなります。

この結果、8回まで連続してかけられることとなります。

回数　掛け金　手数料　今回損失　累計損失　返金　利益

1　　　1000　　　200　　　1200　　　1200　　3000　　1800

2　　　1000　　　200　　　1200　　　2400　　3000　　600

3　　　2000　　　400　　　2400　　　4800　　6000　　1200

4　　　3000　　　600　　　3600　　　8400　　9000　　600

5　　　5000　　　1000　　　6000　　14400　　15000　　600

6　　　9000　　　1800　　10800　　　25200　27000　　1800

7　　　15000　　3000　　　18000　　43200　　45000　　1800

8　　　25000　　5000　　　30000　　73200　　75000　　1800

9　　　41000　　8200　　　49200　　122400　123000　　600

10　　69000　　13800　　　82800　　205200　207000　　1800

kinntarou 様からのコメントについて、「1.679616%*65」ではないかとのことことですが、そうかも知れません。私もどちらかと言えば文系なので、数学的な根拠はありません。この回答は、賭け事をする時の、自分の緊張感を和らげるための理屈っぽい根拠を作ってみたというところです。

このような掛け方を考え、自分の理論に基づいてかけた結果、仮に負けたとしても「2%の確立で負けたのならしょうがないか...」と思うためのものです。

「利益が出るまで掛け金を増やすやり方はリターンに対するリスクが大きすぎると思い、何回目で逃げて（掛け金を下げる）最初からやり直すべきかと考えましたがこちらも私は回答がわかりません。」とのことですが、負けた状態で最初に戻ると、この方法は成立しません。勝つまでの1ターンが1セットです。負けた状態で、どうしても1回目に戻るのであればそのリミットは、次のターンで8回目までかけるための73200を残した額(最初の10万円であれば6回目の25200まで)ではないでしょうか？しかし、今度は最初の25200を取り戻すために、16ターン程必要としますので、あまり得策ではないように思います。

試行回数が増えると、最終的な確立は4:6の理論値に収束してきますが、その中には非常に長い連続勝ちまたは連続負けが発生することと思われます。

これらを避けるために、もし仮にこの賭け事が「見(ケン)」(ゲームに参加せず、勝敗を見ること)ができるのであれば、「見の状態で3連続負け(21.6 %)のあとからゲームをスタートする」や、「参加中に3連続勝ち(6.4%)の後は見をし、連続勝ちを含めて4:6に収束するまで参加しない」などのルールをつけると、このような偏りを避けることができるのではないかと思われます。

ただし今回の回答は「高い確率で勝つ」ためのものであり、質問文中の「効率良く勝つ方法」では無いですね...