Aをユークリッド平面上の点の集合とします.

ただし,原点はAに含まれないものとします.

このとき二項関係〜を次のように定義します:
p,q∈Aについて,p=qであるかまたは,pとqを通る直線が原点も通るならば,p〜qである.

この二項関係〜が同値関係であることを示し,またその同値類はどのようなものかを求めたいです.

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回答(4件)

id:iru35711 No.1

iru35711回答回数1ベストアンサー獲得回数02005/05/22 10:58:42

ポイント10pt

p,qについて(a)p=q,(b)pとqが原点を通る直線上にあるとすると、(a)または(b)が成り立つときp~qである。

(1)反射律

p=pなので(a)が成り立つので成立。

(2)対称律

p~qとする。

(a)のとき。p=qなのでq=pが成り立ち、q~p

(b)のとき。ある0でない実数aでp=aqとなるものが存在するので、やはりq,pも同じ直線上にある。

(3)推移律

p~q,q~rとする。

pとq,qとrがともに(a)を満たすときはp=rからp~r

p~qが(b)でq~rが(a)のときは、(2)の式に、q=rを代入すれがよい。

逆も同様。

p~q,q~rどちらも(b)のとき、(2)のような式が二つあるので、片方をもう片方に代入する。


同値類はユークリッド平面上の原点を通る直線の原点を除いたもの全体です。


かなり適当かもしれませんがこれでいいでしょうか?urlは適当なものを張りました。

id:smoking186 No.2

186回答回数74ベストアンサー獲得回数62005/05/21 18:41:09

同値関係であることを示すために、反射律・対称律・推移律が成立することを調べます.


二項関係の定義を少々変更して, 原点とxを通る直線上にyが存在すればx~yとします.


∀x,y,z ∈ Aについて

反射律: x~x;

二項関係~の定義より従う.


対称律: x~y⇒y~x;

原点とxを通る直線上にyが存在するので, 逆に原点とyを通る直線上にxが存在する.


推移律: x~yかつy~z⇒x~z;

原点とxを通る直線上にyが存在かつ原点とyを通る直線上にzが存在する.

従って原点とxを通る直線上にzが存在する.


正式にはこういうことを数式を用いて表します(そのために二項関係の定義にp=qの場合が含まれています).


同値類の方ですが, 同値類全体の集合は商集合です.

たとえば, A = R^2¥{(0,0)}ならば,

商集合R^2¥{(0,0)}/~は {(cosθ, sinθ) | 0≦θ<π}になります.

(¥は¥setminusで集合の差です)


A = {第一象限から原点を除いた集合} とすると,

A/~は {(cosθ, sinθ) | 0≦θ≦π/2}となります.

id:nakaie

ありがとうございます。

2005/05/22 19:48:23
id:comfortPiro No.3

comfortPiro回答回数7ベストアンサー獲得回数02005/05/21 18:54:58

上のサイトは、代数学のものですが、

同値関係をどう示したらいいかの

参考になるかもしれませんので、

どうぞ


同値関係~は、次の3つの条件を満たしています。

1) p~p (反射律)

2) p~q ならば q~p (対称律)

3) p~q かつ q~r ならば p~r (推移律)


1) p=p なので、当然 p~p

2) p=q ならば、 q=p なのでOK。

p≠qについて、

pとqを通る直線は、

qとpを通る直線といっても同じことで、

当然、原点を通るので、

反射律もOK

3) ユークリッド平面上で、0とqを通る直線は1本しか描けません。

(ユークリッド幾何学の公理です)

したがって、0,p,qを通る直線と、0,q,rを通る直線は、

同一の直線となり、0,p,q,rは一直線上にあります。

したがって、推移律も満たします。


一応、前半のお題を解決しておきます。

(同値類はどのようなものかって

検討もなんとなくつきましたよね?)

id:nakaie

ありがとうございます。

2005/05/22 19:48:59
id:Insite No.4

Insite回答回数111ベストアンサー獲得回数02005/05/22 02:36:16

http://d.hatena.ne.jp/asin/400007637X

幾何のおもしろさ 数学入門シリーズ (7) - はてなダイアリー

ええと、何処まで立ち戻りましょうかね。高校レベルか大学レベルか。中をとってリンク書籍のレベルで行きます。

『公理1:相異なる二点AとBが与えられたとき,AとBを通る直線をひくことができる。AとBを通る直線はただ一つしかない。』

ヒルベルトさんの公理1,2を合わせたものらしいです。

これを認めていただいて、

p,q,r∈Aについて、もしp~qかつp~rならばq~rであることを証明する。

i) p=qである時は自明。

ii) q=rである時は定義によりq~r。

iii) q≠rである時

p~qよりpとqを通る直線が原点を通る。すなわちpとqを通る直線とpと原点を通る直線は等しい。

p~rよりpとrを通る直線が原点を通る。すなわちpとrを通る直線とpと原点を通る直線は等しい。

よってpとqを通る直線とpとrを通る直線は等しくどちらも原点を通る。

すなわちqとrを通る直線が原点を通る。ゆえにq~r(推移律の証明)。

反射律と対象律は省略。

同値類はpと原点を通る直線(点集合)。

宿題みたい。

Wikipediaの同値関係は既出ですね。

id:nakaie

申し訳ありません。私的に問題がありました。

2005/05/23 12:42:03

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