次の定数係数の線形差分方程式の解を求めよ

まずf(n)の満たすべき条件を求めます。

このf(n)はn∈自然数においてはフィボナッチ数列の一般項と同じでなくてはいけないことがすぐにわかります。よって、n∈Ｎのもとで、

f(n)=((1+√5)^(n+1) - (1-√5)^(n+1))/(2^(n+1) * √5)

が必要になります。とりあえず、この関数をF(n)とします。

次に、これがn∈Ｃのもとで十分条件となっていることを示します。

まず、

F(n)=F(n-1)+F(n-2)の両辺に、2^(n+1)を掛け、整理すると、

(1+√5)^(n-1) * ((1+√5)^2 - 2(1+√5)-4)

=(1-√5)^(n-1) * ((1-√5)^2 - 2(1-√5)-4)

となります。ここで、((1+√5)^2 - 2(1+√5)-4)と((1-√5)^2 - 2(1-√5)-4)はともに0になりますから、この等式は成立します。また、同値変形だけでこの式を出しているので、

元のF(n)=F(n-1)+F(n-2)の式も成立します。

よってf(n)=F(n)は必要十分条件となります。

途中の式変形はやってみて確認してみてください。これでいいでしょうか？

先ほどの回答では不親切なようでしたのできちんと回答を示したいと思います。

f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=f(1)=1において、

特性方程式は、

x^2-x-1=0

これを解くと、

x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2

これにより、f(n)は2定数C1,C2を用いて、

f(n)=C1*(x1)^n+C2*(x2)^n　…（*）

とあらわすことができる。

f(n)は任意の自然数を代入しても成立するので、n=0,1を代入。

f(0)=C1+C2=1

f(1)=C1*x1+C2*x2=1

これはC1,C2の２元１次方程式だから、これを解いて、

C1=(1+√5)/2√5,C2=(1-√5)/2√5

これより、(*)にC1,C2を代入して、

f(n)はリンク先の一番下の式となります。

いかがでしょうか？

ただの計算演習であればこの回答で十分かと思いますが、(*)の部分について、一般解がこう表せることについて言及しなければならないのであればこれの倍くらい書かなければならないかと思います。

よくわからない点がありましたらコメントいただければ対応いたします。

特性方程式による解法

上記URLのページは、次のように書かれた行以降で、線形2階差分方程式の一般的な解法について説明しています。

> この上を行く線形２階差分方程式は、質問の特性方程式を使って解くことになる。

また、このページを更に下へと読み進むと次のように書かれた行以降に、フィボナッチ数列の解法が見つかります。

> これを使ってフィボナッチ数列を解いてみよう。

ただし、もしも gurugurucafe さんが『特性方程式』について知らなければ、次の点が理解し難いかもしれません。

- 特性方程式 ρ^2 - ρ - ρ = 0 の解が x = α, β ⇒ 差分方程式の一般解は A(n) = C_1 α^n + C_2 β^n (特性方程式の解の n 乗の線形結合)