次の定数係数の線形差分方程式の解を求めよ

 f(n)=f(n-1)+f(n-2), f(0)=1,f(1)=1

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回答(3件)

id:Xylo No.1

Xylo回答回数4ベストアンサー獲得回数02005/07/03 16:47:53

ポイント50pt

http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/fibonatti.shtml

黄金比からフィボナッチ数列を作る

まずf(n)の満たすべき条件を求めます。

このf(n)はn∈自然数においてはフィボナッチ数列の一般項と同じでなくてはいけないことがすぐにわかります。よって、n∈Nのもとで、

f(n)=((1+√5)^(n+1) - (1-√5)^(n+1))/(2^(n+1) * √5)

が必要になります。とりあえず、この関数をF(n)とします。

次に、これがn∈Cのもとで十分条件となっていることを示します。

まず、

F(n)=F(n-1)+F(n-2)の両辺に、2^(n+1)を掛け、整理すると、

(1+√5)^(n-1) * ((1+√5)^2 - 2(1+√5)-4)

=(1-√5)^(n-1) * ((1-√5)^2 - 2(1-√5)-4)

となります。ここで、((1+√5)^2 - 2(1+√5)-4)と((1-√5)^2 - 2(1-√5)-4)はともに0になりますから、この等式は成立します。また、同値変形だけでこの式を出しているので、

元のF(n)=F(n-1)+F(n-2)の式も成立します。

よってf(n)=F(n)は必要十分条件となります。

途中の式変形はやってみて確認してみてください。これでいいでしょうか?

id:gurugurucafe

なるほど・・・参考になりました。

ありがとうございます

2005/07/04 22:34:20
id:montagne No.2

montagne回答回数53ベストアンサー獲得回数12005/07/03 17:33:28

ポイント50pt

先ほどの回答では不親切なようでしたのできちんと回答を示したいと思います。

f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=f(1)=1において、

特性方程式は、

x^2-x-1=0

これを解くと、

x1=(1+√5)/2,x2=(1-√5)/2

これにより、f(n)は2定数C1,C2を用いて、

f(n)=C1*(x1)^n+C2*(x2)^n …(*)

とあらわすことができる。

f(n)は任意の自然数を代入しても成立するので、n=0,1を代入。

f(0)=C1+C2=1

f(1)=C1*x1+C2*x2=1

これはC1,C2の2元1次方程式だから、これを解いて、

C1=(1+√5)/2√5,C2=(1-√5)/2√5

これより、(*)にC1,C2を代入して、

f(n)はリンク先の一番下の式となります。

いかがでしょうか?

ただの計算演習であればこの回答で十分かと思いますが、(*)の部分について、一般解がこう表せることについて言及しなければならないのであればこれの倍くらい書かなければならないかと思います。

よくわからない点がありましたらコメントいただければ対応いたします。

id:gurugurucafe

演習問題の一つなので十分です。

丁寧な解答ありがとうございます

2005/07/04 22:36:07
id:mouche No.3

mouche回答回数4ベストアンサー獲得回数12005/07/03 20:09:33

ポイント50pt

特性方程式による解法


上記URLのページは、次のように書かれた行以降で、線形2階差分方程式の一般的な解法について説明しています。

> この上を行く線形2階差分方程式は、質問の特性方程式を使って解くことになる。


また、このページを更に下へと読み進むと次のように書かれた行以降に、フィボナッチ数列の解法が見つかります。

> これを使ってフィボナッチ数列を解いてみよう。


ただし、もしも gurugurucafe さんが『特性方程式』について知らなければ、次の点が理解し難いかもしれません。

- 特性方程式 ρ^2 - ρ - ρ = 0 の解が x = α, β ⇒ 差分方程式の一般解は A(n) = C_1 α^n + C_2 β^n (特性方程式の解の n 乗の線形結合)

id:gurugurucafe

特性方程式については習いましたので

おおよそ理解できました

ありがとうございます

2005/07/04 22:37:45

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