裏表が50%づつの確率ででるコインがあります。コインを投げ続けて、表が出た確率が50%(裏が50%でも同じ)になったら、終了とします。偶数回で終了となりますが、終了する回数が2回、4回、8回、10回・・・100回となるそれぞれの確率の求め方を教えて下さい。

たとえば、
(裏、表)もしくは(表、裏)とでれば、2回で終了です。
(表、表、裏、裏)もしくは(裏、裏、表、表)とでれば、4回目で終了です。
(裏、裏、表、裏、表、表)等は6回目で終了です。

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回答(6件)

id:JULY No.1

JULY回答回数966ベストアンサー獲得回数2472005/08/29 23:32:43

ポイント5pt

n が偶数の時、起こりうる全ての事象は 2 の n 乗。

このうち、表・裏が均等になる事象は、ちょうど n 個のものから、n/2 個を

取り出した組み合わせの数になります。例えば、6回の場合、1~6まで番号

が付いたボールから3個選んだときに、その選ばれた番号に等しい回数に、

表が出た、と考えることが出来ます。例えば 1、5、6のボールを選んだら、

1回目、5回目、6回目に表が出た、ということにします、よって、表・裏の数が

等しくなる事象の数は n C (n/2)。


よって、その確率は (n C (n/2)) / (2^n) となります。


...で、あってるよなぁ(^^;。こんな事考えるのは 20 年ぐらいぶりだから(^^;

id:uniquer

たとえば、1回目、5回目、6回目に表が出た場合、2回目に裏がでてるってことですよね。

1回目表、2回目裏となったら、その時点で、表がでる確率が50%なので終了ですよね。

間違ってそうな気がしますが。。

2005/08/30 10:43:17
id:ahirunoaru No.2

ahirunoaru回答回数17ベストアンサー獲得回数02005/08/30 00:07:39

ポイント5pt

http://www.hatena.ne.jp/1125323959#

人力検索はてな - 裏表が50%づつの確率ででるコインがあります。コインを投げ続けて、表が出た確率が50%(裏が50%でも同じ)になったら、終了とします。偶数回で終了となりますが、終了する..

URLはダミーです。


終了する回数をk(k>2)とおくと、k回目で終わる終わり方は

「2のk/2乗」ー「2の(k-2)/2乗」

この値をTとおくと、裏表の出る確率が等しいので求める確率は

T×「1/2のk乗」

(k>2, k=2のときはT=2)


文字ばっかで読み辛い上間違ってるかもですが。

id:uniquer

ありがとうございます。

ロジックがないので、あってるかどうか分かりません。たとえば、6回で終了する例で説明してもらうことは可能ですか?

2005/08/30 10:45:12
id:eofl No.3

eofl回答回数11ベストアンサー獲得回数02005/08/30 01:36:30

http://www.dummy.com/

Dummy at Dummy.com - Don't be a Dummy! Get the Right Business Executive Gifts and Employee Gifts

URLはダミー。


N回目で終わるとすれば。

1/2の(N/2+1)乗かな?

id:uniquer

たとえばの例をつけてもらえるとありがたいです。

2005/08/30 10:46:08
id:eofl No.4

eofl回答回数11ベストアンサー獲得回数02005/08/30 01:43:17

URLはダミー。


さっきのなし!!

id:aki73ix No.5

aki73ix回答回数5224ベストアンサー獲得回数272005/08/30 02:56:05

ポイント80pt

表が出た場合を+1、-1でない場合をとします、2回セットにして、スコアが+2になる確率は25%、0になる確率は50%、-2になる確率は25%です

これをもとに

n回目でスコアがmになる確率を

f(n,m)とすると

m回目での終了条件はf(0,m)になります

f(0,2)=0.5で

m>2においては スコア-2,2の時の1/4が対象になるので 1/4x2=1/2で

f(0,m)=f(2,m-1)/2 となります


また、

f(2,2)=1/4で

m>2においては下の1/4と隣の項の1/2の和になるので

f(2,m)=f(2,m-1)/2+f(4,m-1)/4 となります

n>2のf(n,m)については

f(n,m)=f(n-2,m-1)/4+f(n,m-1)/2+f(n+2,m-1)/4

となります

これをエクセルで表現したのが上のURLになります

上記の条件で数列を解けば式にはできますが、ちょっと複雑ですね


2回目で50%、4回目で12.5%、10回目で2.73%、20回目で0.927%、

100回目では0.0804%になります

id:uniquer

すばらしいです!完璧です。どうもありがとうございました。

2005/08/30 12:19:12
id:Kazu-ki No.6

Kazu-ki回答回数28ベストアンサー獲得回数02005/08/30 12:04:52

URLはだみーです。


1の方の回答であっていると思います。


2回目 2C1/2^2=2/4=1/2

4回目 4C2/2^4=6/16=3/8

6回目 6C3/2^6=20/64=5/16

 ・

 ・

 ・

 

こんな感じではないでしょうか?

id:uniquer

2,4,6を足すだけで100%を超えてますよ。

2005/08/30 12:21:23
  • id:Yuichirou
    一般式を計算してみました

    aki73ixさんは漸化式のような形を使いましたが、
    私は一般式を求めたので、参考までに書き残しておきます。


    以下、コインの裏表をオセロのコマのように○●で表します。
    また、『表が出た確率が50%(裏が50%でも同じ)になる』という条件を(*)で表します。

    まず、6回目で終了する場合を具体的に説明します。
    途中で止めずに6回投げた場合、(*)を満たすパターンは以下の20通りです。
    ○○○●●●
    ○○●○●●
    ○○●●○●
    ○○●●●○
    ○●○○●●
    ○●○●○●
    ○●○●●○
    ○●●○○●
    ○●●○●○
    ○●●●○○
    ●○○○●●
    ●○○●○●
    ●○○●●○
    ●○●○○●
    ●○●○●○
    ●○●●○○
    ●●○○○●
    ●●○○●○
    ●●○●○○
    ●●●○○○

    このうち、2回目または4回目に終わってしまうパターンは以下の12通りです。
    ○○●●○●
    ○○●●●○
    ○●○●○●
    ○●○●●○
    ○●●○○●
    ○●●○●○
    ●○○●○●
    ●○○●●○
    ●○●○○●
    ●○●○●○
    ●●○○○●
    ●●○○●○

    このパターンをよく見ると、実は途中で止めずに4回投げて(*)を満たすパターン(6通り)に、
    「表→裏」と「裏→表」のパターンをそれぞれくっつけた形になっています。
    ○○●●
    ○●○●
    ○●●○ \/ ○●
    ●○○● /\ ●○
    ●○●○
    ●●○○


    これを一般化します。
    途中で止めずに n 回まで続けた場合、(*)を満たすパターンは
    この質問の一番最初の回答にJULYさんが説明したように、n C (n/2) 通りです。

    このうち、 n 回目より前に終わってしまうパターンは、
    途中で止めずに (n-2) 回投げて(*)を満たすパターン (n-2) C (n/2-1) 通りに
    「表→裏」と「裏→表」のパターン 2 通りをかけた数、すなわち
    (n-2) C (n/2-1) * 2 通りあります。

    したがって、ちょうど n 回目で終了するパターンは、
    n C (n/2) - (n-2) C (n/2-1) * 2 通り。

    全事象は 2^n (2のn乗)なので、求める確率は、
    {n C (n/2) - (n-2) C (n/2-1) * 2} / 2^n
     ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄

    式の整理は価値がなさそうなのでやめておきます。
  • id:ton-boo
    Re:一般式を計算してみました

    >このうち、2回目または4回目に終わってしまうパターンは以下の12通りです。

    と書かれている12通りの中に、

    >○●○○●●
    >○●●●○○
    >●○○○●●
    >●○●●○○

    が抜けています。(2回で終了)

    >このパターンをよく見ると、実は途中で止めずに4回投げて(*)を満たすパターン(6通り)に、
    >「表→裏」と「裏→表」のパターンをそれぞれくっつけた形になっています。

    と、こう単純にならないので結構難しくて面白いなぁ、と思いながら見ていました。
  • id:smoking186
    Re:一般式を計算してみました

    なぜ誰もランダムウォークと書かない(;´Д`)
    http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle-2005/lecture-notes/ishikawa4.pdf
    東京大学工学部の数理統計の資料です。ぐぐって見つけました。
    6ページ目から1次元ランダムウォークを扱っています。
    aki73ixさんの考え方であってます。一般式も出したら完璧だったのに。
  • id:ton-boo
    面白いですね

    >なぜ誰もランダムウォークと書かない(;´Д`)
    >http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle-2005/lecture-notes/ishikawa4.pdf
    >東京大学工学部の数理統計の資料です。ぐぐって見つけました。

    知りませんでしたっす。リンク先面白いですね。

    ちなみにオフトピックですが、P.11とか見るとこんなことが。
    >勝ち負けの確率が半々で、勝った時の得と負けた時の損が同額のギャンブルでは、元手の金額が十分大きければ、いつか必ず浮く。
    こういうギャンブルは、元手の金額が有限なら、引き時を見失うといつか必ず破産する、とも言えるわけですね。(うわネガティブな考え方)
  • id:dasm
    Re(2):一般式を計算してみました

    >aki73ixさんの考え方であってます。一般式も出したら完璧だったのに。
    初めから間違えているのにそれはないだろう。

    というか、やっぱり出てきたね。手間省けた。
  • id:dasm
    それから

    貴方も素人じゃないんだから資料の出所くらい明らかにしたっていいじゃない。
    OCW なら OCW って言わないと。
    http://www.jocw.jp/
    http://ocw.u-tokyo.ac.jp/
  • id:smoking186
    (投稿者削除)

  • id:smoking186
    添削

    > n回目にスコアがmになる確率をf(n,m)とすると,
    > m回目での終了条件はf(0,m)になります
    書き間違いか? f(m,0)が定義から言うと正解。
    ただ二行目に嘘が混じっている点が問題。
    m回目にスコアが0になったとしてもk < mなるk回目にスコアが0になっている場合がある。
    あとを読むと分かるが、実はこれがちゃんと考慮されている。

    以下では、全て引数1がスコア、引数2が回数になっている点と偶数回しか考慮していない点に、注意。
    よって
    ----
    2n回目にスコアがmになる確率をf(m,n)とすると,
    ----
    に直して欲しい。

    > f(0,2)=0.5で
    ここは引数1をスコア、引数2を回数と見ると問題ないが偶数回しか考慮していないので、
    ----
    f(0,1) = 1/2
    ----
    と書いて欲しい。

    > m>2においては スコア-2,2の時の1/4が対象になるので 1/4x2=1/2で
    > f(0,m)=f(2,m-1)/2 となります
    m≧2が正しい。
    ここから、明言されていないが対称性が使われている。

    > また、
    > f(2,2)=1/4で
    偶数回しか考慮していないのと、対称性から、
    ----
    f(2,1)=1/2
    ----
    と書いて欲しい。

    > m>2においては下の1/4と隣の項の1/2の和になるので
    > f(2,m)=f(2,m-1)/2+f(4,m-1)/4 となります
    やっぱりm≧2と書いて欲しい。
    ここで、f(2,m)を求める際に, f(0,m-1)/4の項が無い点がポイント。
    これにより2m回以前に0になる確率が排除されている。

    > n>2のf(n,m)については
    > f(n,m)=f(n-2,m-1)/4+f(n,m-1)/2+f(n+2,m-1)/4

    ということなので、そこまで間違っているとは言い難いです。文脈を読めば。

    本人が出てきてこういう釈明するのが正しいのだろうけど、横から訂正してみました。
    投稿者削除の欄は、色々と間違えていたので。
  • id:aki73ix
    Re:添削

    ちょっと仕事中だったので、出遅れました


    2n回目でスコアがmになる確率を
    f(m,n)とすると
    2n回目での終了条件はf(0,n)になります
    f(0,1)=0.5で
    n>=2においては スコア-2,2の時の1/4が対象になり、
    裏と表の対象性を考慮しているのでその2倍、
    1/4x2=1/2で f(0,n)=f(2,n-1)/2 となります

    また、
    f(2,1)=1/4で
    n>=1回 においては下の1/4と隣の項の1/2の和になるので
    f(2,n)=f(2,n-1)/2+f(4,n-1)/4 となります
    m>=4のf(m,n)については
    f(m,n)=f(m-2,n-1)/4+f(m,n-1)/2+f(m+2,n-1)/4

    と正しくは書くつもりだったので、おおむねsmoking186さんの解釈が理想で、最初『n回目にスコアがmになる確率をf(n,m)とすると』と言っているのに途中から、『2n回目にスコアがmになる確率をf(m,n)』とした時の式に変わっている上に、暗黙の了解として、k回目にスコア0になった場合の除外と対象性を考慮しています・・・・分かりにくかったですね


    簡単な補足のつもりだったのと寝る直前だったので、正直なところ、チェックが甘かったです・・・申し訳ありませんでしたm(..*)m
  • id:Yuichirou
    Re(2):一般式を計算してみました

    >>○●○○●●
    >>○●●●○○
    >>●○○○●●
    >>●○●●○○
    >
    >が抜けています。(2回で終了)

    ……あ゛ああ(中略)ぁぁ!!

    (元ネタ:『That’s カンニング!』)(←98%わからないって)

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