無限より大きい無限とは!?


以前「自然数より無理数の方が大きい集合である」ということをどこかで見た気がするのです。
そこで疑問に思ったのですが、
A「自然数を全て足した」のと、
B「0以上1未満の数を全て足した」のでは
どちらの方が大きいと言えるのでしょうか?

A 1+2+3+・・・+9999999+・・・=+∞
B 0.1+0.2+0.3+・・・+0.999・・・+限りなく1に近い数+・・・=+∞?
どちらも無限回足すのですから、最終的には(最終があるのかどうか・・・)+∞になりそうな気がします。
感覚的にはAの方が大きい気がするのですが、私はBの方が大きいのではないかと思ってますが、どうなのでしょう?どちらも+∞で同じと考えるべきなのでしょうか?
①A、Bのどちらが大きいのか、もしくは同じなのか?
② ①の結論はなぜそうなのか?
教えてください!

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  • 登録:2005/09/10 03:48:06
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回答(11件)

id:reply No.1

reply回答回数787ベストアンサー獲得回数02005/09/10 03:51:39

ポイント21pt

答えではありませんが、こちらから導き出してみましょう。(^^)

id:omomukin

>

無限個の要素を持つ集合について同じことを考えると, 一番「小さい」無限の数 (= 濃度) は自然数 (正の整数 1, 2, 3, 4, ... の全部) の集合の濃度でそれを À0 という記号で表す。 (そしてアレフゼロと読む)

実は, 整数 (自然数に 0 と負の整数 -1, -2, -3, ... を加えたもの) も自然数と同じ濃度であり有理数 (整数分の整数という形をした分数全体) も自然数と同じ濃度であることが証明できる。

ところが実数 (数直線上にのっている数の総て) は Cantor が 「対角線論法 diagonal method」 という有名な方法を用いて自然数の集合の濃度よりは大きいことを示した。この濃度を À という記号で表す。

実数の方が「濃度」が大きいのですか。

でも、「なぜ」大きいのですかね?

2005/09/10 04:11:51
id:iwskR No.2

iwskR回答回数185ベストアンサー獲得回数182005/09/10 05:03:21

ポイント21pt

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/child/mugen/

大学の数学へのいざない(無限について)

「自然数の集合より実数の集合の方が濃度が大きい」

ということの証明には、カントールの対角線論法を使います。

「対角線論法」で検索をかけると色々と出てくると思いますが、たとえばこちらを参照してみてください。


-------

ある無限とある無限のどちらの方が「大きいか?」という比較は出来ません。

無限というのは、自然数のように大きさを比較できるような『数』を指すものではないからです。

id:omomukin

>「自然数の集合より実数の集合の方が濃度が大きい」

>ある無限とある無限のどちらの方が「大きいか?」という比較は出来ません。

>無限というのは、自然数のように大きさを比較できるような『数』を指すものではないからです。

ということは、集合としては実数の方が濃度が大きいが、無限同士の大きさを比べる事はできないってことですかね。

2005/09/10 13:04:20
id:aceto No.3

aceto回答回数28ベストアンサー獲得回数02005/09/10 05:19:32

ポイント21pt

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=31937

[教えて!goo] ごめんなさい!! また「無限」です。

ここの回答No5の後半に上の質問に対する答えが説明されております。


~~これは最初の仮定:「もし、0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば」が間違っていた、という事です。だから、0と1の間の実数の個数はアレフ0よりも多いことが分かります。これが対角線論法。~~


>実数の方が「濃度」が大きいのですか。

でも、「なぜ」大きいのですかね?


実数の方が個数が多い→濃度が大きい

だと思います。


また、対角線論法は実数の個数がアレフ0より多い事を証明するのに使うものらしいです。

id:omomukin

対応付けができれば濃度が同じで、どっちかがあまったら余ったほうが濃度が大きいということは理解できました。

で、対角線論法というのを使って自然数と無限小数のどちらが濃度が大きいかということまでは、なんとなくわかった気がします。

ペアを組めないものを無理やり作り出す、仲間はずれ論法なんですね?

2005/09/10 17:58:54
id:edacrow No.4

edacrow回答回数14ベストアンサー獲得回数02005/09/10 08:03:30

ポイント21pt

http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%CC%B5%B8%C2%C2%E7&...

国語辞典 英和辞典 和英辞典 - goo 辞書

http://www.marguerite-site.com/Nihongo/Math/Infinity.html

���w�̂��b���E��(������)�Ƃ́B

Bが無限大かどうかは判りませんがAと同じかBの方が小さいかのどちらかです。

Aの方が小さいことはまずありません。


Aは無限大です。

数学的にいえば「「a=∞」とは、

任意のx>0に対して「a>x」となる数。

」ということです。任意のxとはどんな数

のxでも当てはまるxのことです。

判りやすく説明するとURLにもあるとおり無限大の定義は

「変数の絶対値がどんな正数よりも大きくなること。」

です。

大きいという事柄そのものを指すのです。AよりもBの方が大きいことはありません。なぜならAはなによりも大きいからです。

もしBの方が大きいと無限大の定義に矛盾します。


Bの一部(部分集合)が無限大になることを証明できればBも無限大だと思います。

おそらく無限大です。

ここまでしか判りませんがとりあえずコメントしておきます。

http://stardustcrown.com/reading/1-0_999999.html

1=0.999999……? @ Stardust Crown

蛇足かもしれませんが最後にひとつ。

わかった上で書かれているのかもしれませんが0.9999・・・は1と全く寸分違いなく等しい値です。

ここのURLの下にも書いてありますがそれが実数の定義だからです。

この辺の話も面白いですし、参考になると思います。

id:omomukin

うーん、Aの大きいのでしょうか・・・。

でも、「濃度」的に言えばBの方が濃度が大きいのでは?

一対一対応をさせていくとなると、最初はAの方がそれぞれの数値的には大きいわけですよね。

でも、対角線論法を使えばいくらでもAより人員を導入することができるわけですよね?

あと、AもBも+∞になるわけのですよね、多分?

二人の言い分を聞くならば・・・

A「俺は無限だぜ!だれよりも絶対値が大きいんだぜ!」

B「はぁ?オレも∞だよ?俺こそがダレよりも大きいんだ。」

ということにならないですかね?

2005/09/10 18:13:34
id:mayiu No.5

mayiu回答回数2ベストアンサー獲得回数02005/09/10 09:28:41

ポイント21pt

無限回足すという事は難しいので,まずは適当な自然数 n(≠∞)を持ってきて

n 回足すことを考えます.

すると A は


Σ k=1 から n まで k


と書けます.これを SA_n とします.

また,B は, 0 から 1 までの区間を n 分割して足すということにすると,


Σ k=1 から n まで k/n


と書けます.これを SB_n とします.


SB_n を書き換えると


SB_n = 1/n Σ k=1 から n まで k

= 1/n SA_n


となるので,n が有限であれば明らかに SB_n < SA_n であり,

A の方が 大きいと言えます.


ここで,n を∞にすることを考えますが,

∞というのは定まった数ではないので,n = ∞ とすることは出来ません.

私たちには n を ∞ に近づけることしかできないのです.

これを


n → ∞


と書きます.


このようにして n を∞に近づけると,SA_n と SB_n も同様に∞に近づいていきます.

よって n → ∞ のとき,


SA_n → ∞,

SB_n → ∞


です.(決して SA_n = ∞ ではない)


この状態では,数の大きい小さいを言うことはできません.

なぜなら,どちらも値が定まっているわけではないからです.


n が有限の時には SB_n < SA_n であり,

いくら n が大きくなってもこの関係は成り立っています.

ところが,∞という状態を持ち出してくるととたんに,

値は定まらなくなり,どちらが大きいということもいえなくなります.

id:omomukin

ははぁ。なんとなくわかってきました。

>n が有限であれば明らかに SB_n < SA_n であり,

A の方が 大きいと言えます.

>ところが,∞という状態を持ち出してくるととたんに,

値は定まらなくなり,どちらが大きいということもいえなくなります

なんか悔しいのですが、∞同士の値の大小を比較できないんですかね。

2005/09/10 18:18:09
id:HARU_in_sheep No.6

HARU_in_sheep回答回数202ベストアンサー獲得回数32005/09/10 09:48:18

ポイント21pt

http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4150500282.html

次元がいっぱい: 紀伊國屋書店BookWeb

回答1に対するコメント内に提示された質問に対して回答を試みますね。


まずアジモフ科学エッセイ「次元がいっぱい」をお勧めします。「無限あれこれ」の章で同様の話題を解説しています。大きな数字マニアのアジモフ博士ですから、実に楽しそうに「∞」の解説をしています。以下自分なりに理解した内容を書きます。


有理数=∞

では

実数=有理数+無理数>∞なのか?


∞+∞=∞なので有理数+無理数=∞じゃないのか!と思いがちです。


ここで、「∞」はあくまで整数や有理数上のルールで「1、2、3・・・∞と終り無く続く状態」を表す言葉であり、無理数はその埒外にある事を思い出すべきです。野球のルールでサッカーの判定は出来ないのです。


無理数の数列≠「∞」

よって

実数=有理数+無理数=「∞」の集合体+「∞」と違うルール上に無数に存在する集合体>∞


実数を点で表した場合、その無数の点は連なる直線に見えるはずです。


実数=C(コンティニュアムのC)


その直線上に有理数の点の全てがあり、それ以外にも無理数の点が存在しているのですから、実数の方が∞よりもより濃く無限なのです。


その有理数の点と点の間に必ず無理数の点がある事は証明されています。これが「必ず複数の」点が存在すると証明されれば、


自然数=∞<無理数


となるのですが、まだ証明されていません。


また、カントールの予想として、有理数=∞=A0(アレフ・ヌル)ならば、


C=有理数+無理数=∞の∞乗=A1(アレフ・1)


とされていますが、これも証明されていません。


余談として、A1は無限の直線(無限の点)でした。またカントールはA2=A1のA1乗にも言及していて、これは無限の曲線だと予想しています。A3以上に関してはどんなモノなのか未だに誰も予想していません。フロインドはその著作で「A3以上の無限は我々の想像力を超えている」と云っています。

id:omomukin

無限の話をしていたのに次元の話が出てくるとは驚きです。

自然数=∞<無理数は証明されていないのですか?

対角線論法で証明できているわけではないのですか?

>C=有理数+無理数=∞の∞乗=A1(アレフ・1)

「∞の∞乗ってどれだけ大きいんだよー!!」って叫びたいです。(笑)

2005/09/11 01:27:59
id:akionro No.7

akionro回答回数4ベストアンサー獲得回数02005/09/10 09:52:10

ポイント21pt

URLは適当です

どちらも同じ大きさです。

Aの方がBよりも「変化が急速」なだけで、どちらも果てはありません。


二次関数のグラフを思い出してみるといいでしょう。

例えばy=x^2とy=3x^2のグラフを比較すると、変化の割合は後者の方が大きいです。

しかしどちらも果てしなく大きくなってしまい、最終的には変わりません。

id:omomukin

変化が急速!!

・・・でもこの場合、↓こうすると

lim 3x^2/x^2

x→∞

これ、3ですね。

果てしなく大きくなっていっても、この場合は3x^2の方が大きいですね。

lim  x^3/x^2=+∞

x→∞

(あってます?かなり昔の事で記憶がややアヤシイので・・・)

こんな感じでA,Bの大小比較ができるのでは!?

(Σ自然数)/(Σ0以上1未満の無理数)

・・・数式がかなりおかしいですね。

というか式を作る事はできるのか?

また、わからなくなってきた・・・。

2005/09/11 01:53:09
id:akionro No.8

akionro回答回数4ベストアンサー獲得回数02005/09/10 09:57:55

ポイント21pt

http://d.hatena.ne.jp/

はてなダイアリー - キーワードでつながる多機能ブログ

もう一つ。実数の方が整数よりも濃度が高い理由です。

整数を作るには+1または-1を続ければいいです。

しかし、実数は分割するわけですから整数よりも多く作れそうです。

例えば1を10個に分割して0.1、0.1を10個に分割して0.01・・・。

もちろん最終的にはどちらも無限になってしまうわけですけど。

id:omomukin

>実数は分割するわけですから整数よりも多く作れそうです。

そうですね。そう思います。

やはり変化の度合いが重要なのでしょうか。

2005/09/11 01:55:59
id:Kanemori No.9

Kanemori回答回数6ベストアンサー獲得回数02005/09/10 11:20:09

ポイント21pt

URLはダミーです。

①は対角線論法による有名な証明でB。

②極めてアバウトな言い方ですが、幾何を念頭に考えればわかりやすいのではないでしょうか。

自然数は中学校で習う平面幾何以前の世界の数です。

無理数は平面幾何を学んで世界が広がってはじめて意味が理解できます。脳の使うレベルがあがったので無限のレベルも上がったと考えるのは自然では。

 大体こんな答えでいいでしょうか?

id:omomukin

>自然数は中学校で習う平面幾何以前の世界の数です。

>無理数は平面幾何を学んで世界が広がってはじめて意味が理解できます。脳の使うレベルがあがったので無限のレベルも上がったと考えるのは自然では。

自然数 リンゴ一個、二個、三個

無理数 長さ1の直角二等辺三角形の斜辺の長さ(√2)

ということですね。

√2という長さは存在していますよね。

でも√2という個数は存在しているのでしょうか?

平方を考えないと無理数を発生させる事はできないのか?

本題からずれてきた感が・・・。

2005/09/11 02:02:27
id:kamisama No.10

kamisama回答回数549ベストアンサー獲得回数112005/09/10 18:34:21

ポイント21pt

http://www.hatena.ne.jp/1126291686#

人力検索はてな - 無限より大きい無限とは!? 以前「自然数より無理数の方が大きい集合である」ということをどこかで見た気がするのです。 そこで疑問に思ったのですが、 A「自然数を全て足..

Bの数列の規則性が良くわからないけど、

無限個足すから無限大と言うのは誤りです。

例えば、

1+1/2+1/4+1/8+・・・・・+1/2^∞

2

です。

id:omomukin

そうですね。Bの定義があいまいといえばあいまいですね。

これをどうにかできれば!

2005/09/11 02:14:52
id:A_piece_of_Luck No.11

A_piece_of_Luck回答回数10ベストアンサー獲得回数02005/09/11 10:04:46

ポイント20pt

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=20761

[教えて!goo] 無限と有限について

Bの定義って…

∑lim n/無限 ?

n=0→無限

専門から外ているのですが、こんなの解けるのかな…?

id:omomukin

ありがとうございます。

自分としての結論をだします。

自然数より実数の方が「濃度」が大きい。

有限のうちはAとBを比べた時、あきらかにAの方が大きい。

しかし、これが無限になると∞というのは「数」ではなく「記号」なので大きさを比較する事はできない、と・・・。

2005/09/11 14:49:48
  • id:singularity
    「結論の一部:有限のうちはAとBを比べた時、あきらかにAの方が大きい」に対する反例

    極限で発散するもの同士の比較は、有限に切って比較するときにお好きな方を大きくすることが出来てしまうので、俗に『無限大同士の比較は意味がない』と言われます。例えば、

    A(n) = 1 + 2 + ... + n = n(1+n)/2
    B(n) = (1 + 2 + ... + n)/n = (1+n)/2

    とします。このとき、どーみても

    A(n) → ∞ (n → ∞)
    B(n) → ∞ (n → ∞)

    です。では、これら極限を

    A(n) → A(∞) (n → ∞)
    B(n) → B(∞) (n → ∞)

    と、あたかも数のように書いて、A(∞)とB(∞)の大小を比較したいとしましょう。このとき、A(n)/B(n)、A(n)/B(n^2)、A(n)/B(n^3)の3つの場合について n → ∞ の極限を考えてみます。感覚的にはどれも A(∞)/B(∞)
    に行き着きそうなので、どれでもよさそうです。実際に計算すると

    A(n)/B(n) = n → ∞ (n → ∞)

    A(n)/B(n^2) = (1 + 1/n)/(1 + 1/n^2) → 1 (n → ∞)

    A(n)/B(n^3) = (1/n + 1/n^2)/(1 + 1/n^3) → 0 (n → ∞)

    です。一番目は A(∞) が大きそうなのに、二番目では A(∞) と B(∞) は同じ。一番下では B(∞) の方が大きいという三者三様の答えが得られます。こーなると、「A(∞) と B(∞) のどっちが大きいの」との質問に対して、「比較できん」としか答えられないってのがわかるのではないでしょうか。

    ちなみに、質問文の B のような連続集合の『全ての要素の和』ってのは一筋縄では定義できません。だって単純に、a + b + c + ... って数を足していっても、 a,b,c,... って足す数を数えられるってことは、どんな頑張ってもせいぜい可算無限個(= 自然数全体からなる集合の要素数と同じ数)しか足せないってことになるんですから。その辺はトラックバックの『白のカピバラの逆極限 S144-3 2005/09/11』のコメント欄で議論されまくってるのでそっちに譲ります。っていうか後半良くわかりません。
  • id:singularity
    途中で議論がずれてしまいました

    つまるところ、有限で比較してっていったときに、『有限』への切り方をどうするかは勝手なので、

    ・A(n) と B(n)
    ・A(n) と B(n^2)
    ・A(n) と B(n^3)

    の各々の場合で大小関係は変わって来ます。だから有限でも、その切り方を比較するまではどちらが大きいとは言えないと思います。
  • id:suna_zu
    自分としては、質問を下記のように言い換えられます。
    A:自然数の数がたくさんある無限と、自然数の大きさの無限を合わせた無限と、
    B:自然数よりもすごい無理数の数がたくさんある無限について、
    自然数の無限2つをあわせた無限(A)と、自然数の無限よりもすごい無理数の無限(B)を比べたときどんなことがわかるのか。

    無理数を順番に一列に並べるのが難しいので、回答がみつからないというところまで着きました。

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