確率の問題です。

確率計算に自信が無い方、解答に自信の無い方は回答しないで下さい。
答えだけでなく、その計算手順を明記して下さい。
一番早く解答を出せた方にポイントを差し上げようと思います。
サイトに法則みたいなのもありますが、5×5でFREEのものが多いです。
[問題]
3×3のマスに1〜15の数字の中から好きな数字9個を入れます。
真ん中はFREEではありません。
同じ数字は2度使えません。
ランダムに数字を抽選して
3回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが揃う確率
4回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが揃う確率
5回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが「初めて」揃う確率
6回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが「初めて」揃う確率
の四つを求めて下さい。
なお、5回目ではダブルビンゴ、
6回目ではダブルビンゴ、トリプルビンゴの可能性がありますので
これらは含めません。

回答の条件
  • URL必須
  • 1人2回まで
  • 登録:2005/09/13 19:02:11
  • 終了:--

回答(4件)

id:wakan No.1

わかん回答回数98ベストアンサー獲得回数02005/09/13 22:05:42

ポイント3pt

http://www.dummy.com/

Dummy at Dummy.com - Don't be a Dummy! Get the Right Business Executive Gifts and Employee Gifts

ポイント不要です。

このままでは誰も答えられないと思いますので、追加の説明をお願いします。


「どれかが揃う」とは、どういう状態になればいいのでしょうか。


だって「同じ数字は2度使えません」という条件では、

縦・横・斜めのいずれかで同じ数字がそろうのはあり得ない、

となってしまうんですから。

じゃ、何がそろえればいいのか、が不明なままです。

id:room_of_brian

ビンゴになる確率です。

数字を111と揃わせるのではなく、

4→13→8→12→9→1

と抽選したとして

作成したカードが

11,7,1

2,8,6

4,15,13

としたら6回目でビンゴということです。

このビンゴになる確率を求めています。

2005/09/14 08:05:42
id:T-pon No.2

T-pon回答回数424ベストアンサー獲得回数42005/09/14 02:28:01

ポイント30pt

http://www.kakaku.com/

【価格.com】 賢者の買物 - 価格比較・クチコミ・レビュー

3回目で揃う確率

3回ではどれか1列のみが揃う。この列のとり方は縱3横3斜2の8通り。

揃う列を固定して考えるとその列の3つが当たる確率は{(1/15)^3}*(3!)

したがって{(1/15)^3}*(3!)*8=(2^4)/{(3^2)*(5^3)}=16/1125 ■


4回目で揃う確率

3回目に1列揃っている状態からは確率1で4回目に1列揃っている状態へ移行することに留意すると、

(4回目で1列揃う確率)=(4回目終了時に1列揃っている確率)ー(3回目終了時で既に1列揃っている確率)

4回目終了時に1列揃っている確率を求める。チェックされるマスのとり方は、(1列に並ぶ3マスのとり方)*(残る1マスのとり方)と考えて8*6=48通り。

従って(4回目終了時に1列揃っている確率)={(1/15)^4}*(4!)*48=(2^7)/{(3^2)*(5^4)}=128/5625

よって

128/5625 ー 16/1125 = 48/5625 = 16/1875■


5回目で初めて1列「のみ」が揃う確率は後に回して6回目で初めて1列「のみ」が揃う確率を求めます。

(6回目で初めてちょうど1列揃う確率)=(5回目終了時に1列も揃わない確率)*(その次の抽選でちょうど1列揃う確率)

ビンゴを1列も作らずに5マスを埋める方法は地道に数えると、センターを埋める方法が2^4=16通り、センターを空ける方法はさらに四隅をうちいくつの隅を埋めるかに分けて考え、4隅埋めることは不可能、3隅埋める方法が4通り、2隅埋める方法が10通り、1隅埋める方法が4通りあるので計18通り、すべて足して34通りあります。


したがって(5回目終了時に1列も揃わない確率)={(1/15)^5}*(5!)*34


夜遅くなったのでここで中断します。

せっかくここまで書いたので送ります。(しかも計算用紙を使ってないw)

時間があったらまた書き込みなおします。

id:room_of_brian

3,4回目は自分もそうなったので正解だと思います。やり方はあってると思います。

この解答なら期待できそうなのでがんばってください。

2005/09/14 08:10:38
id:souju No.3

souju回答回数38ベストアンサー獲得回数02005/09/15 15:15:56

ポイント40pt

1 3回目で揃う確率

3回目では最大で3マスが埋まり,3マスとも埋まったときにようやく1列(のみ)揃う可能性が発生する。

3マス×3マスのビンゴにおいて1列が揃うのは,列に着目して数えると8通り(タテ3通り,ヨコ3通り,ナナメ2通り)。

ただマスに入る順番は問わないので,実際にはこれに3!(=6)を掛ける必要がある。

従って48通り。

他方,分母の方は,問題文が不明確なため問題がある。

T-ponさんのように2回目以降も1~15までの数すべてを抽選の対象にするのか(この場合ビンゴで言うと,一回抽選した球を戻して2回目の抽選を行う。),それとも問題文には明示されていないが通常のビンゴのように抽選済みの球をはずした14個(1回目に「1」の球が抽選されたなら1をはずした2~15までの14個)から選ぶのかがはっきりしない。

そこで,場合分けをすることとする。

(1) 抽選した球を戻す場合

 分母は15^3

 求めるべき確率は=8*6/(15^3)=16/1125


(2) 抽選した球を戻さない場合

 分母は15*14*13

 求めるべき確率は=8*6/(15*14*13)=8/455


2 4回目で初めて揃う確率

4回目では最大で4マスが埋まる。ただし3マスでもビンゴになりうる点に留意が必要である(1回外れを引いてその他3回でタテかヨコかナナメにそろうことを考慮する必要がある。)。

そして,3回目に1列揃っている状態からは確率1で4回目に1列揃っている状態になることから,

(4回目で初めて1列揃う確率)=(4回目終了時に1列揃っている確率)-(3回目終了時で既に1列揃っている確率)

4回目終了時に1列揃っている確率を求める。

チェックされるマスの取り方は,(1列に並ぶ3マスの取り方)*(もう1個の数字の行方)と考えて8*12=96通り。マスに入る順番は問わないので,実際にはこれに4!(=24)を掛ける必要がある。

ここで場合分けをする。

(1) 抽選した球を戻す場合

 分母は15^4

 4回目終了時に1列揃っている確率は96*24/(15^4)=256/5625

 求めるべき確率は256/5625-16/1125=176/5625


(2) 抽選した球を戻さない場合

 分母は15*14*13*12

 4回目終了時に1列揃っている確率は96*24/(15*14*13*12)=32/455

 求めるべき確率は32/455-8/455=24/455


3 5回目で初めて1列揃う確率

5回目では最大で5マスが埋まり,ダブルビンゴ状態が存在する。4回目で1列が揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴになりうることを考慮に入れると,

(5回目で初めて1列揃う確率)=(5回目終了時に1列以上揃っている確率)-(4回目終了時に1列揃っている確率)

となる。

5回目終了時に1列以上揃っている確率は,3マス埋まっているとき,4マス埋まっているとき,5マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。


とりあえず休憩。ここから先は作業量が膨大になるので,分母の問題について質問者の応答を待ってからにします。

しかし,美しい解き方ではないですね…

id:room_of_brian

すいませんでした。

抽選した球は戻さないのが条件です。

頭になかったです。そーか、ちょっと自分も算出します。続きよろしくお願いします。

2005/09/15 19:07:19
id:souju No.4

souju回答回数38ベストアンサー獲得回数02005/09/16 00:08:18

ポイント60pt

上記回答の続きです。

なお抽選した球は戻さないものとします。


3 5回目で初めて1列揃う確率

5回目では最大で5マスが埋まり,ダブルビンゴ状態が存在する。4回目で1列が揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴになりうることを考慮に入れると,

(5回目で初めて1列揃う確率)=(5回目終了時に1列以上揃っている確率)-(4回目終了時に1列揃っている確率)

となる。

5回目終了時に1列以上揃っている確率は,3マス埋まっているとき,4マス埋まっているとき,5マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。


(1) ビンゴのマスが3マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス内の組み合わせは8通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが15通り(6*5/(2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*15*5!通り


(2) ビンゴのマスが4マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス組み合わせが8*6通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが6通り。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*6*6*5!通り


(3) ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数

まず3マスビンゴになるように並べる組み合わせは8通り。

埋まっていないマスから2マス選ぶ組み合わせは15通り(6*5/(2*1))。

これらを単純に掛け合わせるとダブルビンゴをダブって評価してしまうので,ダブルビンゴの組み合わせを数えて引かなければならない。

そこでダブルビンゴの組み合わせの数を数える。

タテとヨコの組み合わせが9通り,タテとナナメの組み合わせが6通り,ヨコとナナメの組み合わせが6通り,ナナメ同士の組み合わせが1通りなので,ダブルビンゴの組み合わせは22通り。

したがって,ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番を考慮すると,(8*15-22)*5!通り


(4) したがって5回目でビンゴが1列以上完成する組み合わせは,

8*15*5!+8*6*6*5!+(8*15-22)*5!=(120+288+98)*5!=506*5!通り


(5) 5回目でビンゴが1列以上完成する確率は,

(506*5!)/(15*14*13*12*11)=46/273


(6) 求めるべき確率は,

46/273-32/455=134/1365


3 6回目で初めて1列揃う確率

6回目では最大で6マスが埋まり,ダブルビンゴ・トリプルビンゴ状態が存在する。5回目で1列以上揃っている場合にもう1マス埋まるとダブルビンゴ・トリプルビンゴになりうることを考慮に入れると,

(6回目で初めて1列揃う確率)=(6回目終了時に1列以上揃っている確率)-(5回目終了時に1列以上揃っている確率)

となる。


6回目終了時に1列以上揃っている確率は,3マス埋まっているとき,4マス埋まっているとき,5マス埋まっているとき,6マス埋まっているときのそれぞれを考慮して計算する必要がある。


(1) ビンゴのマスが3マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス内の組み合わせは8通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが20通り(6*5*4/(3*2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*20*6!通り


(2) ビンゴのマスが4マスのみ埋まり,ビンゴが完成する組み合わせの数

ビンゴのマス組み合わせが8*6通り。

マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが15通り(6*5/(2*1))。

数字を取り出す順番を考慮すると,8*6*15*6!通り


(3) ビンゴのマスが5マスのみ埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数

まず3マスビンゴになるように並べる組み合わせは8通り。

埋まっていないマスから2マス選ぶ組み合わせは15通り。

これらを単純に掛け合わせるとダブルビンゴをダブって評価してしまうので,ダブルビンゴの組み合わせを数えて引かなければならない。

そこでダブルビンゴの組み合わせの数を数える。

タテとヨコの組み合わせが9通り,タテとナナメの組み合わせが6通り,ヨコとナナメの組み合わせが6通り,ナナメ同士の組み合わせが1通りなので,ダブルビンゴの組み合わせは22通り。

したがって,ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番を考慮すると,(8*15-22)*6!通り


(4) ビンゴのマスが6マス埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数

これは,ビンゴのマスが6マス埋まる組み合わせの数から6マスも埋まってビンゴができない数を引く方が数えやすい。

ビンゴのマスが6マス埋まる組み合わせの数は,9*8*7*6*5*4/(6*5*4*3*2*1)=9*8*7/3*2*1=84通り

6マスも埋まってビンゴができない組み合わせの数は,2通り(ナナメに空白が揃うパターンしかない。)。

ビンゴのマスが6マス埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番も考慮すると,(84-2)*6!通り


(5) したがって6回目でビンゴが1列以上完成する組み合わせは,

8*20*6!+8*6*15*6!+(8*15-22)*6!+(84-2)*6!=(160+720+98+82)*6!=1060*6!通り


(5) 6回目でビンゴが1列以上完成する確率は,

(1060*6!)/(15*14*13*12*11*10)=212/7*13*11=212/1001


(6) 求めるべき確率は,

212/1001-46/273=636/3003-506/3003=130/3003


以上。

id:room_of_brian

すごいですね。完全に答えを出してしまいましたね。私もこれを用いて落ち着いて計算してみます。ありがとうございました。

2005/09/16 07:29:44
  • id:NATROM
    質問

    たとえば、

    234
    5715
    12911

    の場合で、2→3→11→15→4の場合は、ダブルビンゴとして無効になりますか?それとも5回目で「初めて」のビンゴとカウントしますか?
    http://d.hatena.ne.jp/NATROM/20050917#p1
  • id:souju
    推測ですが。

    NATROMさんご指摘のように,4回目でダブルリーチ状態となり,5回目でダブルビンゴとなることがありえます。
    問題文中に「5回目ではダブルビンゴ(略)の可能性がありますので,これらは含めません。」とありますので,これが「5回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが「初めて」揃う」といえるかについて,疑義が生じるところです。
    最終的には出題者のroom of brainさんに答えていただくほかないとは思います。
    個人的には,出題者さんは,3マス×3マスのビンゴカードにおいて,初めてビンゴが成立する確率を回数ごとに並べてその挙動を観察してみたいのではないかと推測しています。
    そのため,4回目にビンゴが成立しておらず,5回目にいきなりダブルビンゴになった場合も,「「5回目でタテ、ヨコ、ナナメのどれかが「初めて」揃う」と考えて良いものと思います。
  • id:souju
    追記

    私の計算は手計算ですので,間違っている可能性が多々あります。
    NATROMさんの日記を見て気づいたのですが,5回目で初めてビンゴが揃う確率の方が6回目で初めてビンゴが揃う確率よりも大きいのはやはり違和感があります。
    少なくとも6回目の計算過程のどこかに誤りがある気がします。
  • id:NATROM
    Re:追記

    soujuさん、お疲れ様でした。私は、手計算は苦手なのですが、シミュレーションの結果とつき合わせてみると、「6回目で初めて1列揃う確率」の、「(3) ビンゴのマスが5マスのみ埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数」に、大きくずれがあるようです。「マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせ」が考慮されていないのではないでしょうか。

    「ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数」は、

     ビンゴのマス組み合わせが(8*15-22)通り(ダブルビンゴを除く)。
     マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせが6通り(15-9)。
     したがって,ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数は,数字を取り出す順番を考慮すると,(8*15-22)*6*6!通り

    ではなかろうかと。これでだいぶシミュレーションの数字と近くなってきました。完全に一致しないのが、試行数の少なさのせいか、バグが残っているのか、計算にまだミスが残っているのか、わかりません。ダブルビンゴの取り扱いに公式見解が出たら、また考えてみます。
  • id:souju
    Re(2):追記

    ご指摘の通り,「6回目で初めて1列揃う確率」の、「(3) ビンゴのマスが5マスのみ埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数」の計算において,「マスに入っていない数字を選ぶ組み合わせ」を考慮していませんでした。
    これを考慮すると,「ビンゴのマスが5マスちょうど埋まり,ビンゴが1列以上完成する組み合わせの数」は、(8*15-22)*6*6!通りとなります。

    この修正の結果,回答4における「6回目で初めて1列揃う確率」の(5)以下は以下のとおりになります。

    (5) したがって6回目でビンゴが1列以上完成する組み合わせは,
    8*20*6!+8*6*15*6!+(8*15-22)*6*6!+(84-2)*6!=(160+720+588+82)*6!=1550*6!通り

    (5) 6回目でビンゴが1列以上完成する確率は,
    (1550*6!)/(15*14*13*12*11*10)=155*2/(7*13*11)=310/1001

    (6) 求めるべき確率は,
    310/1001-46/273=930/3003-506/3003=424/3003(≒0.14119)

    自分の行った計算を見直すのはなかなか難しく,今のところほかの計算ミスは見つけられていません。
  • id:souju
    蛇足ながら

    暇に任せて,少なくとも1列ビンゴ(ダブルビンゴも含む。)となっている確率(左列),初めてビンゴとなる(その回でいきなりダブルビンゴ・トリプルビンゴとなる場合も含む。)確率(右列)を求めてみました。

    3回目  8/455 (1.76%)  8/455 (1.76%)
    4回目 32/455 (7.03%) 24/455 (5.27%)
    5回目 46/273 (16.85%) 134/1365 (9.82%)
    6回目 310/1001(30.97%) 424/3003 (14.12%)
    7回目 342/715 (47.83%) 844/5005 (16.86%)
    8回目4183/6435(65.00%) 221/1287 (17.17%)
    9回目4001/5005(79.94%) 6728/45045(14.94%)
    10回目 909/1001(90.81%) 544/5005 (10.87%)
    11回目 265/273 (97.07%) 188/3003 (6.26%)
    12回目 453/455 (99.56%) 34/1365 (2.49%)
    13回目 1 (100%) 2/455 (0.44%)

    個別の計算式は省略しますが,一般にn回目でビンゴが一列以上揃っている確率P(n)は,
    P(n)=(8*6C(n-3)+48*6C(n-4)+98*6C(n-5)+82*6C(n-6)+36*6C(n-7)+9*6C(n-8)+6C(n-9))*n!*(15-n)!/15!
    (ただし,6Ckは異なる6個のものからk個取り出す組み合わせの数であるが,k=0,6のときは6Ck=1とし,K<0,6<kのときは6Ck=0とする。)
    と考えました。
    各項の8,48,98,82,36,9,1の係数(ビンゴのマスがそれぞれ3,4,5,6,7,8,9マス埋まった場合において,ビンゴのマス内のみに着目して,ビンゴとなる組み合わせの数)が間違っていると私の計算は根本から間違っていることになります。
    これらの係数の値があっている(組み合わせの数え上げで間違えていない。)のであれば,もし計算ミスがあったとしても影響は限定的なものとなるはずです。

    お暇な方がいらっしゃったら,検証お願いします。
  • id:room_of_brian
    Re:推測ですが。

    しばらく質問を見ておらず回答に遅れました。
    soujuさんの推測通り
    回数ごとにビンゴをする確率を求めてました。
    ここで書きたかったのは一度ビンゴをしたらそこで終了ということを説明に加えたかっただけです。
    つまり、初めてのダブルビンゴはただのビンゴと同じ扱いになるということです。
    時間があれば自分でもう一度求めてみようと思います。
    それでも無理そうなら
    また質問をしようと思います。
    どうもありがとうございました。

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