無限に関する質問です。まず、自然数の集まりなどを表す無限を∞(0)（アレフゼロ）、無理数の集まりなどを表す無限を∞(1)（アレフワン）とすると、この両者に次のような関係が成り立ちます。

数学に全く詳しくない者ですが、ちょっと面白そうだったので回答させて下さい。

まず、僕にとっては

２＾∞(0)＝∞(1)

自体見慣れなかったのですが(^^ゞ

これは実数を２進法で表記したとき、

……00000.000……

と∞(０)桁の数字が並ぶところから、実数の個数を

2^∞(0)と計算したと判断しました。

とすると、もし実数を３進法表示するなら3^∞(０)　１０進法表示するなら10^∞(０)と計算されます。従って、

2^∞(０)＝3^∞(０)＝4^∞(0)＝…＝∞(１)

となります。従って、ここでいうべき乗の概念は高校で習うような実数に対して行うべき乗演算とは異なるものといえそうです。あるいは＝（等しい）の概念が異なるのかもしれません。無限に関する計算ではこのような不思議なことが起こります。他の例では、

∞(０)＋∞(０)＝∞(０)

ですよね。この式は∞(０)に対して加算演算を行っているのではなく、左辺と右辺の意味を考慮した結果等しいから等号で結んだだけです。

結局、無限に関する議論では、加算やべき乗といった演算が定義されているわけではなく、意味を考えて適宜等号(＝)で結んでいるだけだと思います。従って

２＾∞(0)＝∞(1)

だからといって、勝手に両辺のlog2をとって

Ｌｏｇ2　∞(1)＝∞（0）

としてはいけないのではないでしょうか。Log2という関数の定義域には∞(１)や∞(０)は含まれないからです。

従って１．の回答は「成り立ちません」

Log2は定義されていないからです。べき乗(^)も同様、∞に対しては定義されません。

よって2.の答えもありません。

3.は∞(０)桁です。前半の説明の通り、何進数で表しても、∞(０)桁です。

ちなみに、無限は数ではありません。実数の拡張として＋∞、－∞が定義されますが、その場合１つの数を表すわけではありません。

以下、上記URLから転載します。

無限大 ：∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0のように表記していた） いかなる数よりも（その絶対値が）大きな数と取られることもある記号、もしくは拡張された数。数と捉えるならば、これは一つの数を表すものではないと考える。また、実数の拡張としての無限大には + と - がある。

http://encyclopedie-ja.snyke.com/articles/連続体仮説.html:detail]

ご承知の上での質問だと思いますが、無限濃度に対してのlogの意味が定義されていません。2^∞

(0)に対しては、数字が定義されているのではなく、写像全体の濃度が定義されているのですから、その逆演算は未定義だと思います。

再度回答させて下さい。

まず、ご存知と思いますが、

∞(0)（アレフ0）は加算無限集合の濃度を表します。{自然数}と1対1対応させることが可能です。

∞(1)（アレフ1）は実数の濃度を表します。

＞３．の回答が∞(0)桁だとすると、それで表すことのできる数は２^∞(0)なので、∞(1)になってしまいます。それが、疑問な点です。

とのことですが、

∞(0)桁の数値そのもの　…　∞(0)

∞(0)桁の数が表現しうる数値の場合の数　…　2^∞(0)　＝　∞(1)　通り

ですのでとくに疑問はないと思います。

また、Log２という演算は定義されません。

ROYGBさんは「当該の数を2進表示した時の桁数」と定義したいようですが、それだとLog2 ∞(1)　というのはおかしな表示です。なぜなら∞(1)は数直線の延長上に定義されないからです（∞(0)は実数の拡張として定義されているので、数直線の延長上にあるといえます）

無限濃度を扱う時の基本は既知の集合との「対応付け」ですので、べき乗や対数を（実数に対して定義されていたイメージそのままで）持ち出すことはできないと思います。ちなみに、∞(0)は無限濃度の中で最小の濃度です（上記URLでも触れられています）。

とりあえず、3．の答えは∞(0)です。明らかに加算無限ですから。

2．の答えは、Log2の定義によりますが、「当該の数を2進表示した時の桁数」とするなら、∞(0)でしょう。だって、数字として表記できる時点で桁数は可算ですもんね。

その定義でいくと、1．はLog2は∞(1)に対して定義されていないので、こたえはない（不定？）です。上述の通り、∞(1)はいわゆる「数値」の形式では表現できません。できるとすれば加算無限になり、それは∞(0)です。

個人的には、2進法にしても10進法にしても、数値表現した時点で、強力な序列のもとに置かれてしまう（＝数直線上あるいはその延長上に配置されてしまう）、というイメージです。釈迦に説法とは思いますが、一言。無限を想像する時に、「大きい実数である」というやり方で想像してしまうと、いつも実数の拡張としての（＝数直線上の延長にある）無限を想像することになります。しかしそれは∞(0)を想像しているにすぎないわけです。実数の濃度を表す∞(1)はもっとメタな概念になるのだと思います。

面白いテーマでした。どうもです(^^

ちなみにSのべき集合（冪集合）とは、ある集合Sの部分集合全体のつくる集合のことです。2^Sと表記するのは、S の要素数が n の場合、各要素数の有無の組み合わせによりべき集合の要素数が 2n 個になることによります。

すでに述べられていますが濃度のlogは定義されていません。

もし定義するなら、2^y=x の時に y=log x とするのが自然です。

この場合、log ∞(1)=∞(0) となります。

しかし、 log ∞(0) は定義できません。

log ∞(0)=x としてみます。

これは ∞(0)=2^x ということになります。

このような x は存在しません。

もし x が有限なら 2^x < ∞(0) です。

もし x が無限なら ∞(0) < 2^∞(0) <= 2^x となるからです。

どうしても定義したければ有限と無限の間という新しい濃度を導入する必要があります。

貴方は、2^ という「表現法」・「記法」にまどわされているだけです。

回答URLの 1.4.5 べき集合 から引用します。

集合 X の部分集合を全部集めた集合を X のべき集合 と呼び，2^X あるいは P(X) であらわす．べき集合の要素はそれ自体が集合であることに注意．

2^集合 という表記をした場合には、その2^の記号は、2のべき乗「ではありません」。「べき集合」すなわち「部分集合の集合」を表す記号になります。

数のべき乗に対応して対数の概念があるように、べき集合にも対応する対数の「様な」概念があるのでは? と先走っていませんか?

あるいは、2^集合 という表記をした時にそれがべき集合の記号であることを全くご存じなかったのではありませんか?

回答URLの例を再び引用します。

集合Aを{1,2,3}とした時、2^Aは {φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

です。

2^A → A を指し示す対数にあたる概念もありそうな気もしますが、そういう概念は(少なくとも、カントールやゲーデルあたりの解説書のレベルでは)出てきません。

ついでなので、回答URLからもう1つ引用。

有限集合 X の要素の個数を |X| であらわすことにすると，一般に |2^X| = 2^|X| という関係がある．

とあります。

左辺の2^はべき集合の記号で、(Xのべき集合)の要素の個数、と解釈します。

右辺の2^は通常の数に対するべき乗の記号で、 2の(Xの要素の個数)乗、と解釈します。

この違いが判っていないと、質問のような間違った方向に思考が発散してしまいます。

質問に立ち返りますが、

2^∞(0)＝∞(1)

は、「アレフ0の濃度を持つ無限集合の、部分集合を全部集めた集合は、アレフ1の濃度を持つ」と読むのです。

この点を理解していましたか?

pdfです。

18ページ最終行から19ページにかけて、

「B を無限集合とすると、B はかならず可算部分集合 A を含む」

の証明がでてきます。

これにより、「Ｘという集合を考えて、そのべき集合が自然数の集合と同じ濃度になる」Ｘは存在しないことが判ります。

Ｘが有限集合ならべき集合もまた有限集合であり、Ｘが無限集合ならその部分集合として可算無限集合があるからです。

この証明はZF公理系(ツェルメロ＝フレンケルの公理系)ではなくて、ZFC公理系(ZF公理系に選択公理を加えたもの)が前提……だと思います。

参考まで。