質問です。

A君とB君がコイン投げをしています。
コインを投げて先に、裏表を4回当てた方を勝ちとします。
A君が一方を選んだ時は、B君がもう一方を選んだとします。
すでにA君が2回、B君が0回当てています。
これからコイン投げを続けて、A君とB君が勝つ確立はそれぞれ何分の何づつでしょうか?

できるだけP(パーミュテーション)、C(コンビネーション)、H(重複組み合わせ )を使い、式を書き、答えを導きなさい。

という問題が解けないので、誰か答えを教えてください。

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  • 登録:2005/11/05 20:07:32
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回答(6件)

id:room_of_brian No.1

room_of_brian回答回数410ベストアンサー獲得回数02005/11/05 21:39:41

ポイント10pt

すでにA2勝、

4勝したら勝ち。引き分け無し。

裏、表のみで1/2ずつの確率。

ゆえに最低2回、最高5回まで抽選可能

2回目でAが勝つ確率は

AAのみ。つまり1/4。

3回目でAが勝つ確率は

ABA

BAAのみ。つまり2/8。

4回目でAが勝つ確率は

BBAA

BABA

ABBAのみ。つまり3/16。

5回目でAが勝つ確率は

BBBAA

BBABA

BABBA

ABBBAのみ。つまり4/32。

これら全て足す。

1/4+2/8+3/16+4/32=(8+8+6+4)/32=26/32


また当然残りがBが勝つ確率だが、

一応やっておこう。

3回目までは勝てないので0。

4回目でBが勝つ確率は

BBBBのみ。つまり1/16。

5回目でBが勝つ確率は

ABBBB

BABBB

BBABB

BBBABのみ。つまり4/32

1/16+4/32=(2+4)/32=6/32


よって

Aが勝つ確率は13/16

Bが勝つ確率は 3/16

です。


次はP、C、Hを使ってやりますね。

しばしお待ちを。

id:jmpi No.2

jmpi回答回数29ベストアンサー獲得回数12005/11/05 21:42:23

ポイント30pt

URLはダミーです。


B君が勝つのは、この後の対戦五回で四勝以上あげられた場合。

よってB君が勝つ確率は

(5C4+5C5)/2^5=3/16。

A君が勝つ確率は13/16。


ではダメでしょうか。

id:Ma2 No.3

Ma2回答回数11ベストアンサー獲得回数02005/11/05 23:12:13

ポイント25pt

えと、まず「確率」ですね。


それぞれの回ではどちらが勝つ確率も1/2ですが、7回投げれば必ずどちらかが勝ちます。

7回投げるときの場合の数は2の7乗(2H7)で、

すでに2回が終わっていれば後5回で2の5乗(2H5)です。

このうちB君の勝つ場合は5回中4回または5回勝ったときだけなので、

5P5=1(5回勝ち)

5P4=5(4回勝ち)の合計で

6/2H5=6/32=3/16(B君)

1-3/16=13/16(A君)


うーん、もっと場合わけとかして記号をたくさん使わないと問題の趣旨に合わないのかな?

id:Littlewing No.4

Littlewing回答回数6ベストアンサー獲得回数02005/11/06 11:22:58

ポイント20pt

この後続けても最小2回~最大5回目で勝敗が決定する。

①2回目で決定する場合Aが勝つので2C2(1/2)^2=1/4

②3回目の場合Aが勝つので3C2(1/2)^3

但しAABの順に当てた場合2回目の段階で勝敗が決しているので、その分の確率(①)を引く。

③4回目でAが勝つ場合、Bが勝つ場合を同様に計算

④5回目でAが勝つ場合、Bが勝つ場合を同様に計算

最後に①~④を足す。

…という方法で解けると思います。

この手の問題は複雑になるので、この程度の回数なら樹形図を使ったほうが楽かもしれません。

id:calotocen No.5

calotocen回答回数6ベストアンサー獲得回数02005/11/06 13:29:28

URL は、ダミーです。


-------------------------


 まず、前提条件を整理します。


(a) コインを投げて表か裏かをあてる。

(b) A が表を選んだ場合、B は裏を選ぶ。逆に A が裏を選べば、B は表を選ぶ。

(c) A は 2 回勝っている。

(d) B は 0 回勝っている。


-------------------------


 ちょっとしつこい気もしますが、まず (a) と (b) について整理しましょう。


 まず、(a) の条件は「表が出る確率は、あらゆる事象に関係なく常に 1/2。裏が出る確率も 1/2」を意味します。


 次に、(b) の条件は「引き分けがない」ことを意味しています。

つまり、一度コインを投げると、その結果は「A があたり」か「B があたり」かのどちらかです。


 では、「一回のコイン投げにおいて A があたる確率」を考えてみましょう。

B の方は、先の「引き分けなしルール」から「1 - (A があたる確率)」なので、

とりあえずは、A についてだけ考えることにします。

コインの表/裏が出る確率は、地球の公転や気温、その他あらゆる事象に関係なく 1/2 なので、


・A が表を選んだ場合に、表が出る確率は 1/2。また、裏が出る確率も 1/2。

・A が裏を選んだ場合に、表が出る確率は 1/2。また、裏が出る確率も 1/2。


と言うことができます。ゆえに、「一回のコイン投げにおいて A があたる確率」は、


1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2


より、1/2 となります。A の確率が分かったので「一回のコイン投げにおいて B があたる確率」も、


1 - 1/2 = 1/2


より、1/2 となります。


★★分かったこと★★

「一回のコイン投げにおいて A があたる確率」= 1/2

「一回のコイン投げにおいて B があたる確率」= 1/2


-------------------------


 次に (c) と (d) について整理します。

A があてた回を●、B があてた回を○とすると、その戦績は次のようになります。


回数:12

勝敗:●●


 ここで、A は、後 2 回勝てば勝利を得られることが分かります。

また B は、後 4 回勝たなければ勝利を得ることができません。

問題が問うているのは、「A の勝率」と「B の勝率」なので、

求めるべきは「A が 2 回あたる確率」もしくは「B が 4 回あたる確率」となります。

しつこいようですが、片方が分かれば、もう片方は 1 から求めた確率を減じることにより、

その解を得ることができます。


 では、A と B 、どちらの勝率を求めるかを決めましょう。

できれば、楽をして解きたいものです。

 確率問題の多くは、「全体の数」と「条件に合致する場合の数」を計算し、

「条件に合致する場合の数」を「全体の数」で割ることで、確率を求めます。

つまり、「全体の数」や「条件に合致する場合の数」を計算しやすければしやすいほど、

解くのが楽になります。


 上記のことを念頭において考えてみるとと、「A が 2 回あたる確率」は、

2 勝 0 敗、2 勝 1 敗、2 勝 2 敗、2 勝 3 敗、の 4 通りについて調べなければなりません。

逆に「B が 4 回あたる確率」は、4 勝 0 敗 と 4 勝 1 敗の 2 通りしかありません。

(言わずもがなですが、2 敗すると A の勝利なので...)

ゆえに、「B の勝率」を求めた方が楽な(ことが多い)です。


★★分かったこと★★

「B が勝つ確率」は、


(1) 4 勝 0 敗

(2) 4 勝 1 敗


の 2 通りを調べればよい。


-------------------------


 場合分けをして調べます。今回の場合は、そんなに手間ではありません。


(1) 4 勝 0 敗


回数:123456

勝敗:●●○○○○


 発生しうるのは、上記の 1 通りだけです。

確率の計算には3,4,5,6回戦分、つまり、

4 回コインを投げて●が 0 個だったと考え、計算します。


4P0 / 2^4 = 1/16


(P は、パーミュテーション。^ は累乗の意味)


(2) 4 勝 1 敗


回数:1234567

勝敗:●●●○○○○


回数:1234567

勝敗:●●○●○○○


回数:1234567

勝敗:●●○○●○○


回数:1234567

勝敗:●●○○○●○


回数:1234567

勝敗:●●○○○○●


 発生しうるのは、上記の 5 通りだけです。

ただし、(2) における最後の例は、6回戦ですでに

4 勝しているので省かなくてはなりません。

 確率の計算には3,4,5,6,7回戦分、つまり、

5 回コインを投げて 1 つだけ●だったと考え、計算します。


(5P1 - 1) / 2^5 = (5 - 1) / 32 = 1 / 8


で、最後に確率の和をとり「B の勝率」は 3/16 となります。

「A の勝率」は、1 - 3/16 で 13/16 です。


★★答え★★


A: 1 - 3/16 = 13/16

B: 4P0 / 2^4 + (5P - 1) / 2^5 = 1/16 + 1/8 = 3/16

id:calotocen No.6

calotocen回答回数6ベストアンサー獲得回数02005/11/06 14:55:33

ポイント15pt

http://www.hatena.ne.jp/q

人力検索はてな

 申し訳ございません。先ほどの回答に間違いがございましたので訂正いたします。


 解答はパーミテーションではなくコンビネーションを用いるべきでした。

これは、完全に間違いでお詫びして訂正いたします。


 また、間違いではないのですが、B の勝率を計算しているので、

●の数を数えるよりも、○の数を数える方が正道です。


 あと、4 勝 1 敗の確率を計算するに当たり、-1 していますが、

その根拠も式中で明示すべきでした。


 正しい答えを下に書きます。


★★答え★★

A: 1 - 3/16 = 13/16

B: 4C4 / 2^4 + (5C4 - 4C4) / 2^5 = 1/16 + 1/4 = 3/16


------------------------------


「A の勝率」を求める場合は、


2 勝 0 敗

2 勝 1 敗

2 勝 2 敗

2 勝 3 敗


を、求めます。図を描くと分かりますが、これは、


(2C2 - 0) / 2^2 = 1/4

(3C2 - 2C2) / 2^3 = 2/8

(4C2 - 3C2) / 2^4 = 3/16

(5C2 - 4C2) / 2^5 = 4/32


と計算することができ、その和は 13/16 となります。

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