5つの変数a,b,c,d,eがa<b<c<d<eであることを1つの不等式(不等号一つだけの式)で表せますか?ただし右辺は定数とします。

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  • 登録:2005/11/28 20:42:47
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回答(2件)

id:dungeon-master No.1

dungeon-master回答回数571ベストアンサー獲得回数402005/11/28 20:58:50

ポイント20pt

http://www.hatena.ne.jp/ダミー:detail]

式の符号を返す関数(SGNとか)が使えるなら。

SGN(E-D)+SGN(D-C)+SGN(C-B)+SGN(B-A)>3


SGN()は、式を評価した結果に応じて、負→-1、零→0、正→1 の値を返すものとします。

上記式では、全てのSGN()が1を返せば左辺は4になりますので、不等式が成立します。

SGN()が1以外を返すような箇所があれば、成立しません。

実際は、左辺が4であることがわかればいいので、条件が許すなら >= 4でも可です。

id:randk

回答ありがとうございます。

しかし残念ながら、期待した答えではありませんでした。

後付で恐縮ですが以後の回答には以下の条件をつけさせてください。

・関数はNG

・利用可能な演算子は四則とべき乗のみ

・かっこ、負のべき乗は使用可能

単調増加性をうまく表現できないかなーとぼんやり思っているのですが、不可能であればその説明でも結構です。

2005/11/28 21:19:43
id:t111 No.2

t111回答回数68ベストアンサー獲得回数02005/11/28 21:45:12

ポイント30pt

http://www.hatena.ne.jp/ダミ-:detail]

((B-A)^2)^0.5/(B-A) + ((C-B)^2)^0.5/(C-B) + ((D-C)^2)^0.5/(D-C) + ((E-D)^2)^0.5/(E-D) > 3

結果的に1の回答で

SGN(X)=(X^2)^0.5/X

と定義したものと同じになりました。

ただし、欠点があって

A=B or B=C or C=D or D=E

のときには、0/0の項ができてしまうことです。

id:randk

ありがとうございます。

なるほどシンプルでいいですね。

ちょっと自分は難しく考えすぎていたようです。

2005/11/28 22:12:38
  • id:T-pon
    投稿しのがしましたが

    (e-d)^0.5 + (d-c)^0.5 + (c-b)^0.5 + (b-a)^0.5 ≧ 0
    とかでよいのでしょうか。定義域を狭めてしまうというせこい方法ですが。
    それだとa=bやb=cが含まれてしまう、というならもっとせこく
    1 / (e-d)^0.5 + 1 / (d-c)^0.5 + 1 / (c-b)^0.5 + 1 / (b-a)^0.5 ≧ 0
    これなら平方根の中ということでa≦b≦c≦d≦eとなり、分母は0でないことから、abcde≠0となります。定義域がa<b<c<d<eという荒業です(笑)

    ところで、なんとなく感じたのですが、用いてよい数式をa,b,c,d,eに関する多項式に制限すると、a<b<c<d<eと『同値』な式を(⇔必要十分条件を)1つの不等式で表すのは不可能かもしれません。5次元空間を想定するなら、「a<b<c<d<e」は「a<b」「b<c」「c<d」「d<e」という(4次元の)境界面で区切られた空間を表しますが、多項式の不等式で表現される空間は、2次以上の多項式なら曲がった境界を持つと思います。また、1次の多項式ならば、境界面の数が足りず、「a<b<c<d<e」で表される空間に一致することは出来ないのではないか、と思いました。

    あくまで印象ですが参考までに。
  • id:randk
    回答ありがとうござます

    早く締め切りすぎましたね・・・
    ルートを使った定義域の制限はちょっと適用が困難かもしれません。
    ただ、おっしゃるとおり、方向として数学的厳密性(同値)を
    うまいこと条件付けで回避してほぼ正しい解はないかなと
    探しているという認識ではあります。
    はじめ思ったのは、二次元平面の、X軸と等間隔にとりY軸をa,b,c,d,eの値とした場合に
    a,b,c,d,eの値通る線分に近似する単調増加曲線の関数を定義できるならば
    その関数の単調増加性を示す不等式が描けないかなーと漠然と思ったのでした。
    #数学にはトンと疎いのでその道の人からみれば言ってることが支離滅裂なの
    #かもしれませんが、それを論破していただければそれはそれですがすがしいのかなぁ・・・と。

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