(x^2+2x+3)^0.5=x+1+1/x-1/x^2+1/(2x^3)+1/(2x^4)+...と近似的に展開できるとあるが、この算出の仕方を御教示願いたい。

回答の条件
  • URL必須
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/02/12 23:40:35
  • 終了:--

回答(3件)

id:bluesy-k No.1

bluesy-k回答回数17ベストアンサー獲得回数22006/02/13 02:09:00

ポイント40pt

一般に微分可能な「普通の」関数にはテイラー展開と呼ばれる展開が出来て、それは例えば上に示したURLを参考にしてください。特に上のページの二項展開のときの公式を見てください。


それで、問題となっている表式はxが1より非常に大きいときの展開だと思いますが、まず左辺を

x(1+2/x+3/(x^2))

と変形します。

あとは、二項定理のところの式に当てはめるだけです。


テイラー展開の導き方を一応紹介しておきますと一般の関数f(x)に対して


f(x)=f(0)+∫_{0}^{x}(df(y))/(dy) dy


となります。さらにこの右側の積分中のdf(y)/dyもyの関数として


df(y)/dy = {df(y)/dy}@{y=0}+∫_0^y d^2 f(z)/dz^2 dz


とかけます。そうするとf(x)は


f(x)=f(0)+f’(0)+積分


という風にかけるのですがこれを繰り返すとURLに乗っているような式が出てきます。ただし、多重積分をするときの積分範囲に気をつけてください。n!の因子が出てくるのは多重積分での数えすぎを打ち消すためです。


くわしくは、「工学向け」と書かれた(つまり純粋数学者向けでない)解析学の教科書を読まれるといいでしょう。

質問者が未読の回答一覧

 回答者回答受取ベストアンサー回答時間
1 KazuhisaNagata 87 80 4 2006-02-13 11:52:40
2 タンタン 1 0 0 2006-02-19 01:37:25

コメントはまだありません

この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません