【数学の問題?】

二人の人間がA【①②③の3種類】とB【④⑤⑥⑦の4種類】からそれぞれ一つを選びます。
注1:「A①とB④」のように必ず1つづつ選ぶ。A内とB内の数字は入れ替わらない。
注2:二人が同じのを選ぶのもあり。
例:自分「A①とB④」vs相手「A①とB③」

【質問】AとBのそれぞれの中には三つ巴・四つ巴の関係がある場合(A【①<②<③<①・・・】、B【④<⑤<⑥<⑦<④・・・】)、自分が選んだ数字が『両方とも相手に負ける組み合わせ』になる確率はどれぐらいになるんでしょうか?同様に『両方とも相手に勝つ組み合わせ』や『Aのみ相手に勝つ(負ける)確立』『Bのみ勝つ(負ける)確立』はどれくらいになるんでしょうか?
例)自分「A②とB⑤」vs相手「A③とB⑥」←『自分』がAでもBでも負けている状態
自分「A①とB⑤」vs相手「A③とB⑥」←『自分』はAは勝っているがBで負けている状態

Q2.何故そうなるのか?考え方・計算方法など。

「自分がAとBの両方で負ける確立」「何故そうなるのか?」計算方法や考え方が一番知りたいです。文系人間に解りやすく教えて下さい。

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回答(8件)

id:rafile No.1

rafile回答回数662ベストアンサー獲得回数242006/02/23 00:27:36

ポイント20pt

Aについて勝つ・同じ・負けるの3つの状態があります

実は勝つ確率と負ける確率は同じです。自分が勝つ確率は相手が負ける確率でもあるわけで、自分が特別有利ではないので、これらは同じでないとおかしいのです。


さて、Aが同じ確率ですが、ずばり1/3です。 自分がある数字を選んだとき、相手も同じ数字を選ぶ確率は1/3です。(①~③の選択だから)だから1/3


勝つ確率+負ける確率は1-1/3で2/3。それぞれ同じだから勝つ確率は1/3(負ける確率も1/3)


Bについて同じように勝つ・同じ・負けるの3つの状態があります。

Bについては同じ確率は 1/4です。自分がある数字を選んだとき、相手も同じ数字を選ぶ確率は1/4です。(④~⑦の選択だから)だから1/4

したがって勝つ確率は (1-1/4)/2=3/8(負ける確率も同じ)


Aの確率とB確率は独立です。独立とは、Aが勝ったときはBも勝ちやすいとかいう関係がないことです。

このとき、確率はそれぞれが起こる場合の掛け算になります。どうなるかといえば


A勝つ B勝つ = 1/3*3/8 = 1/8

A勝つ B同じ = 1/3*1/4 = 1/12

A勝つ B負け = 1/3*3/8 = 1/8

A同じ B勝つ = 1/3*3/8 = 1/8

A同じ B同じ = 1/3*1/4 = 1/12

A同じ B負け = 1/3*3/8 = 1/8

A負け B勝つ = 1/3*3/8 = 1/8

A負け B同じ = 1/3*1/4 = 1/12

A負け B負け = 1/3*3/8 = 1/8


全部足すと、1になるはずです。

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

一晩で集まった回答を先ず全て開きたいと思います(私自身が正解が判らないし、周りに聞いても誰も答えてくれないんで^^;)

2006/02/23 10:45:08
id:sttjapan No.2

sttjapan回答回数147ベストアンサー獲得回数02006/02/23 02:49:26

ポイント20pt

http://www.shibatajun.com/

柴田淳 オフィシャルサイト

これはもう表を書いてみるのが一番でしょう

左側が自分の引いた数字、上が相手の引いた数字です。自分が勝つ場合を○、負ける場合を×、引き分けを・とします。


Aの方     Bの方

 ①②③    ④⑤⑥⑦

①・×○   ④・×・○

②○・×   ⑤○・×・

③×○・   ⑥・○・×

       ⑦×・○・


それぞれの組み合わせを数えると

Aで負ける確率=3/9=1/3

Bで負ける確率=4/16=1/4

両方で負ける場合はこれを掛け合わせて

1/3×1/4=1/12


同様にAで勝つ=1/3

   Bで勝つ=1/4

なので両方勝つのは1/12です


「Aのみ勝つ」場合はBは勝とうが負けようが、引き分けでも関係ないので

1/3×12/12=1/3

になります。


今回は④と⑥のような明らかでない勝敗は引き分けとしましたがもし引き分けでない場合は・を○とか×にして計算してください

確率の基本は

(条件に当てはまる数)/(全体の数)

です。

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

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2006/02/23 10:47:03
id:rekisha No.3

rekisha回答回数7ベストアンサー獲得回数02006/02/23 05:42:26

ポイント20pt

URLはダミーです。

AとBで別々に考えると分かり易いと思います。

また、このルールでは有利不利がないので、まず「引き分けになる確率」を求めた後、1からこの確率を引き「勝敗が決まる確率」を出した上で、自分と相手で二等分する、と考えるのが早道です。こうすれば具体的な数字の組み合わせを考えなくとも、答えが出せます。


1) Aについて

a.二人とも同じ数字となる確率・・・1/3

友人と二人で数当てゲームをやると考えてください。友人が1・2・3から数字を選んでいるとします、これをあなたが当てようとすれば、当然、1か2か3の三択なので、単純に1/3の確率で当たると言えます。


b.一方がもう一方に勝つ確率・・・・1/3

もともと、二人の勝つ確率は当然同じなので、1 - 1/3を2で割った1/3が答えとなります。


2) Bについて

a.二人とも同じ数字となる確率・・・1/4

Aの時と同じ考え方をします。すると4・5・6・7のいずれかが友人の答えなので、単純に1/4の確率と分かります。


b.一方がもう一方に勝つ確率・・・・3/8

もともと、二人の勝つ確率は当然同じなので、1 - 1/4を2で割った3/8が答えとなります。


以上から、次のような結果になると思います。

『両方とも相手に勝つ確率』は、1/3 * 3/8 = 1/8

『両方とも相手に引き分ける確率』は、1/3 * 1/4 = 1/12

『Aのみ相手に勝ち、Bでは負ける確率』は、1/3 * 3/8 = 1/8

『Aのみ相手に勝ち、Bでは引き分ける確率』は、1/3 * 1/4 = 1/12

『Aでは引き分け、Bのみ相手に勝つ確率』は、1/3 * 3/8 = 1/8


ちなみに、『両方とも相手に負ける確率』の様に、自他が入れ替わっただけの確率は省いています。このように上記の確率には、自他を入れ替えた二通りが存在しますが、ただ『両方とも相手に引き分ける確率』のみは一通りしかありません。


これを踏まえて検算してみます。

『両方とも相手に引き分ける確率』以外の確率を足すと

1/8 + 1/8 + 1/12 + 1/8 = 11/24

これらの確率は、自他を入れ替えた二通りがあるので、2倍すると 11/12

これに一通りしかない『両方とも相手に引き分ける確率』1/12を足すと、1となり検算完了です。

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

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2006/02/23 10:48:33
id:Asuca No.4

Asuca回答回数281ベストアンサー獲得回数42006/02/23 07:56:21

ポイント20pt

http://www.hatena.ne.jp/1140620610#

人力検索はてな - 【数学の問題?】 二人の人間がA【①②③の3種類】とB【④⑤⑥⑦の4種類】からそれぞれ一つを選びます。 注1:「A①とB④」のように必ず1つづつ選ぶ。A内とB内の..

難しそうに見ますが ①<②<③<① これはじゃんけんですよね?

①=グー ②= チョキ ③=パー

じゃんけんの確立は1/3ですからまずAの勝負は1/3と

勝負は1/2ですから ここで引き分けだけを考えると

同じように④<⑤<⑥<⑦<④の関係があるなら同じ数字が出る確立は1/4 残りが勝ち負け


Aの引き分けは 1/3

Bの引き分けは 1/4

つまり両方の引き分け率は1/12です


さらに細かくするとBの内部で引き分けが1/4なら残り(3/4)が勝負けになります

グーのときB内部は 勝 3/8 負 3/8 分 1/4

パーのときB内部は 勝 3/8 負 3/8 分 1/4

チョキのときB内部は 勝 3/8 負 3/8 分 1/4


こう考えればあとは簡単な確立ですね

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

今はちょっと時間がないんで、今晩にでも時間を割いて考えてみます^^;

「AとB両方勝つ」と「AとB両方負ける」の確立は同じなのは何となく判ります。

補足ですが2番目の回答者さんの「4つ巴の際の④と⑥のような時は『引き分け』と同じ」と考えていただいて問題なしです。

う〜ん、「AとBの両方で勝つ(負ける)確立」は「1/8」or「1/12」?(汗

2006/02/23 11:21:10
id:dungeon-master No.5

dungeon-master回答回数571ベストアンサー獲得回数402006/02/23 12:56:30

ポイント30pt

http://www.hatena.ne.jp/ダミー:detail]

Bについての引き分け条件がはっきりしたので整理しましょう。


Aについては、例えば自分がA1を選んだとき、相手2通り(A1~A3)のうち

A1のみ引き分けで、引き分け確率1/3です。これは自分がどれを選んでも同じ。

残りが勝つか負けるか半々なので、

勝(負)確率=(1-引き分け確率)/2=1/3 となります。


全体を表に書くと、

\自

相\123

1‐△○△

2‐×△○

3‐△×△

(自分が勝つ→○、自分が負け→×、引き分け→△)


Bについては、例えば自分がB4を選んだとき、相手4通り(B4~B7)のうち

B4,B6が引き分けなので、引き分け確率1/2。これは自分がどれを選んでも同じ。

勝(負)確率=(1-引き分け確率)/2=1/4 となります。

全体を表に書くと、


\自

相\4567

4‐△○△×

5‐×△○△

6‐△×△○

7‐×△×△


そうすると、各ケースの確率は

A勝B勝=1/3*1/4=1/12

A勝B負=1/3*1/4=1/12

A勝B分=1/3*1/2=1/6

A負B勝=1/3*1/4=1/12

A負B負=1/3*1/4=1/12

A負B分=1/3*1/2=1/6

A分B勝=1/3*1/4=1/12

A分B負=1/3*1/4=1/12

A分B分=1/3*1/2=1/6


検算:1/6*3+1/12*6=1/2+1/2=1


両方勝ち(負け)の確率は1/12です。

ちなみに、回答0の両方勝ち(負け)の確率は1/8という値は、例えば自分B4に

対して、引き分けでない相手の選択がB5,B6,B7の3通りになり、最初明らか

でなかったB4対B6引き分けのケースが紛れ込んでいるのが原因です。

(Bについて勝(負)確率=(1-引き分け確率)/2 を計算するとき 3(奇数)通り

分について確率を勝ち負けで真っ二つにすると、同じ出し方で勝ちもあれば

負けもあるという事になってしまいます。)

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

私の説明不足で回答者さんにご迷惑をお掛けしてしまったようですね、申し訳ないです;;;

何となく解ってきた気がします、頂いた回答を全て開いて質問を締め切ります。

夜に時間をとってゆっくり考える時間をとらせて下さい^^;

2006/02/23 15:46:27
id:momoescythe No.6

momoescythe回答回数7ベストアンサー獲得回数02006/02/23 13:12:50

ポイント20pt

両方勝つ(負ける)に関しては回答1,3,4は引き分けをA,Bそれぞれ1/3,1/4ということを基準として考えてますが、これだと補足にあるように④と⑥のような引き分けを数えられていなくNGです。よって回答2の1/8が正解だと思います。が、Aのみ勝つ(負ける)場合は、Bは引き分けるか負け(勝た)なければいけないので、

1/3 * ( 1 - 1/4 ) = 1/4

ではないでしょうか?

同様にBのみ勝つ(負ける)は、

(1 - 1/3 ) * 1/4 = 1/6

です。

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

あぁ、また違う意見が^^;

ちょっと落ち着いて考える時間を下さい(汗

2006/02/23 15:48:42
id:snaruseyahoo No.7

snaruseyahoo回答回数491ベストアンサー獲得回数42006/02/23 14:43:25

ポイント20pt

ダミーですがよろしかったらご覧ください

Ⅰ・自分の選んだ数字が両方とも相手に負ける組み合わせ。

全体の組み合わせは、まずA・Bの中から1つずつ選ぶので3×4=12になります。

ところが二人の人間が同様に選ぶわけですから12×12=144になります

①のうち両方とも相手に負ける組み合わせはAについては①<②・③ ②<③よって3通り。Bについては①<②~④ ②<③・④ ③<④よって6通り。よって両方負けるのは3×6=18通り

∴18/144=1/8です

Ⅱ両方勝つ確率もⅠと同様にⅠ/8になります

ⅢAのみ相手に勝つ確率

上記Ⅰの考え方を応用すれば、

Aで勝つ確率は3/(3×3)=Ⅰ/3

Bで勝つ確率は6/(4×4)=3/8

∴(Ⅰ/3)×(1-3/8)=5/24

ⅣBでのみ勝つ確率は

(1―1/3)×3/8=1/4となります

id:Itsasin

回答ありがとうございます^^

そうなんですよね、自分も相手も12通りあるので「AB両方とも勝つ(負ける)組み合わせ」は自分も相手も1組づつしかないんで、

1/12×1/12=1/144

と思ったんですが・・・違うのかな?(汗

あと、今気づいたんですが、質問文の4行目の例が間違ってますね(滝汗

正しくは、

例:自分「A①とB④」vs相手「A①とB④」

です^^;;;

2006/02/23 15:58:27
id:dungeon-master No.8

dungeon-master回答回数571ベストアンサー獲得回数402006/02/24 03:31:03

ポイント30pt

http://www.hatena.ne.jp/ダミー2回目:detail]

回答5の補足です。

Aのみ勝つ、Bのみ勝つも問われているのを忘れていました。

>そうすると、各ケースの確率は

>A勝B勝=1/3*1/4=1/12

>A勝B負=1/3*1/4=1/12

>A勝B分=1/3*1/2=1/6

>A負B勝=1/3*1/4=1/12

>A負B負=1/3*1/4=1/12

>A負B分=1/3*1/2=1/6

>A分B勝=1/3*1/4=1/12

>A分B負=1/3*1/4=1/12

>A分B分=1/3*1/2=1/6

>両方勝ち(負け)の確率は1/12です。

Aのみ勝つは、上の一覧から「Aで勝っており、かつBで勝っていない」

ケースの確率を合計すればいいので、

A勝B負の確率+A勝B分の確率=1/12+1/6=3/12=1/4

です。

Bのみ勝つは、同様に「Bで勝っており、かつAで勝っていない」ケースの

確率を合計して

A負B勝の確率+A分B勝の確率=1/12+1/12=2/12=1/6

となります。

つまり回答6と同じ。


>そうなんですよね、自分も相手も12通りあるので「AB両方とも勝つ(負ける)組み合わせ」は自分も相手も1組づつしかないんで、

>1/12×1/12=1/144

>と思ったんですが・・・違うのかな?(汗

たしかに、全体の組み合わせは144とおりです。

回答5の表でも、Aの勝負について9通り、Bの勝負について16通りの

マスがあるので、9*16=144が組み合わせの総数です。

でも、AB両方勝つケースは1/144じゃないです。

Aについて1,2,3のどれを選んでも、相手に勝つ組み合わせが1つあり、

Bについても、4,5,6,7どれを選んでも、相手に勝つ組み合わせが1つあります。

具体的な例で考えると、まずAの勝負は普通のジャンケンですから

自分A1対相手A3、自分A2対相手A1、自分A3対相手A2の3通りで自分の勝ち。

これとは独立して、Bの勝負については

自分B4対相手B7、自分B5対相手B4、自分B6対相手B5、自分B7対相手B6

の4通りで自分が勝ちます。

つまり、自分がABを選ぶ3*4=12通りのそれぞれについて、相手がABを選ぶ

12通りのうち1つが両方で勝つのです。従って12*12=144のうち12が勝ちます。


くどくなるのを承知で、同じことを確率で言うと…

Aは9通りのうち3通りで勝つので確率1/3で勝ち(ジャンケンと同じ)、

Bは16通りのうち4通りで勝つので、確率1/4で勝ちです。

9*16の144通りのうち、3*4の12通りで両方とも勝つので、

両方とも勝つ確率は 12/144=1/12。


ところで、回答7はiiの説明で三つ巴、四つ巴になっていないのでは…?

あ~回答権満了です。もし終了しても納得いかない場合は、いわしで。

このケースの四つ巴じゃんけんは、鼠<猫<犬<象<鼠…とかにして、

同値と犬VS鼠と猫VS象が引き分けといった感じですかねー。

id:Itsasin

再回答ありがとうございます^^

申し訳ないです、ちょっと忙しく精査する時間が取れませんでした(汗

皆さんのお陰で「両方で勝つ(負ける)確立」等が判りました、私の説明不足で混乱させてしまい申し訳ありませんでした^^;

解決したので終了いたします、御回答ありがとうございました!

2006/02/28 23:53:28

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