連続体仮説は、なんで「連続」なのでしょうか?


『無限集合 m について、
 m < n < 2**m となる n は存在しない』

って、m と 2**m の間になにもない、、、ってことはつまり連続していないじゃないですか(^^;)。

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回答(2件)

id:akagi_paon No.1

akagi_paon回答回数143ベストアンサー獲得回数132006/03/10 17:45:38

ポイント25pt

> 無限の濃度(無限の個数)で最も小さいものは可算濃度である。しかし、可算濃度に 1

> を足してもやはり可算濃度であるので、有限の場合のように 1 を足しても求めるものは

> 得られない。では可算濃度よりも大きい最小の濃度は何であろうか。それは連続体濃度で

> あろうという仮説が連続体仮説である。


だから「連続体」仮説なのです。


ちなみに質問に書かれてあるのは「一般連続体仮説」というやつで、

連続体仮説を単に一般化したものとしてこの名前がついたんだと思います。

id:pena3

あーー!おーー! (少し感動)

加算濃度(アレフゼロ)と実数の濃度(アレフ)が連続しているという意味ではなくて、

アレフゼロの上に「連続体(確かに実数は連続していますね)」という別の無限がある、という部分で連続体仮説なのですね。

一般連続体仮説の説明になってしまったのは、

実は アレフ が変換できないのでイヤになってしまったという事情が・・(笑

どうもありがとうございました。

2006/03/10 18:13:49
id:siigimaru No.2

siigimaru回答回数556ベストアンサー獲得回数52006/03/10 17:46:54

ポイント25pt

この証明で、理解できませんか?

id:pena3

素敵なサイトの初回ありがとうございます。

少し時間がかかりそうなので証明部分は後でじっくり拝見することにして、さらっと眺めた感じでは別証明のほうがストンと腑に落ちそうな気がします。

2006/03/10 18:24:21
  • id:KazuhisaNagata
    数式を使わないで理解できそうな本

    回答しようとしたら終了してしまったので本の紹介だけ。

    http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4061494201/503-7240760-2407909

    この本では集合論の基礎から「不完全性定理」まで言葉で説明しています。
    たしか質問されている件も解説されていたように思います。

    私の感想は「非常に面白かった」ですのでもしよろしかったら呼んでみてください。
  • id:pena3
    Re:数式を使わないで理解できそうな本

    すいません、もう少し開けておけばよかったですねm(_ _)m
    ご丁寧にありがとうございます。

    ご紹介いただいた本、興味を持ったので、注文してみたいと思います。
    ちょっと値段が安すぎて(←なんか金持ちみたいな台詞ですね(笑))、一緒に組み合わせて買う本を物色中です。

    あっ、たまたまamazonのお勧めの中に出てきた「数学21世紀の7大難問」というのに興味を持って著者の中村 亨さんを辿っていったら「無限ホテル」という本に出会いました。もしかしてこれ、私が少し前から探していた本かもしれません、、他にも「1〜2週間」程度で欲しかった本があったので、それと組み合わせてこれも注文しちゃいます^^

    http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4062574292/
    http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4835575628/

    おかげさまで、色々広がりが出ました。
    どうもありがとうございました!
  • id:ROYGB
    「無限論の教室」

    「無限論の教室」には、残念ながら連続体仮説については出てません。
    でも、無限に関してわかりやすい言葉で説明されていますし、「非常に面白い」というのは同感で、おすすめの本だと思います。

    ちなみに、最初の回答のリンク先のウィキペディアの説明にもありますが、「連続体仮説」の肯定、否定のどちらでも矛盾が無い公理系が成立するようです。
    そうすると、連続体仮説を否定した公理系では、可付番無限(加算無限)と連続無限の間に別の無限が存在することになりますが、それはどんな無限なんだろうと考えてしまいます。


    http://www.hatena.ne.jp/1130932358
  • id:smoking186
    2番目の人が紹介しているサイト

    は所謂”と”の人です.

    http://www9.ocn.ne.jp/~noenergy/supplement_about_the_proof1.html
    上記リンク先で, ”中間連続体”として挙げられているSは実際には有理数全体の集合Qと等しく, 自然数全体の集合Nと同濃度です.
    補足2でそれは正しくないといわれていますが(わらい
  • id:nuc
    めちゃくちゃ、どうでもいい突込みですが、
    S と Q は集合としては等しくないですよ。
    1/2 2/4 などがあるので同値関係で割らなきゃいけません。
    あと、負の数もなんとかしないと。
    濃度一緒なので大して気にする必要ありませんが。

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