a(n+1) = (5 + a(n))/2
以上の条件式で与えられる数列a(n)に、極限値(n→∞)が存在する(拡散しない)ことを証明する方法を教えてください。数学的帰納法を使わない別の方法を探しています。
与式を
a(n+1)-5=(a(n)-5)/2
と変形すると,数列[a(n)-5}は
初項1-5=-4,公比1/2の等比数列
a(n)-5=-4(1/2)^(n-1)
a(n)=5-4(1/2)^(n-1)
で
n→∞のときa(n)→5
高校の教科書での標準的な解法だと思います。
#数学的帰納法使って証明できるのかな...
a(0)=1 の間違いと解釈しまして‥
2a(n+1)-a(n)=5 ですから、両辺を2倍・4倍してあげますと
8a(n+3)-4a(n+2)=20
4a(n+2)-2a(n+1)=10
2a(n+1)-a(n)=5
適当に足すと、
8a(n+3)-a(n)=5+10+20
4a(n+2)-a(n)=5+10
2a(n+1)-a(n)=5
てな具合になるのが分かると思います。まわりくどい?ようするに
(2^n)a(n)-a(0)=5*(2^n-1) となるわけで、両辺割り算などで
a(n)=2^(-n)+5*(1-2^(-n)) になりまして、
2^(-n)はn→∞で0ですから、a(n)は5にだんだん近づくはずです。
‥計算あってるかな‥。
なんか5-a(n)が半分ずつになっていくようなので、
b(n)=5-a(n)とすると、
b(1)=4
b(n+1)=5-a(n+1)
=5-(5+a(n))/2
=(5-a(n))/2
=b(n)/2
公比1/2の数列が0に収束することの証明は自分で調べてください。
あとは、b(n)が0に収束するので、a(n)は5に収束します。
は
となり
なる数列を考えると
より数列は初項-4公比の等比数列となる。
よって
となり収束する。
これでいいんで無いでしょうか。
収束如何を帰納法で証明するというのがよくわかりませんが
みなさん同じ解法ですね。ありがとうございました。
帰納法では、a[n]が常に増加していること
1<a[n]<5より、Monotonic Sequence Theoremを使います。</p>
高校で習ったことをすべて忘れてしまっていたようです…。この解法でよさそうです。ありがとうございました。