a(n) = 1

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sorakihu

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学習・教育

a(n) = 1

a(n+1) = (5 + a(n))/2
以上の条件式で与えられる数列a(n)に、極限値(n→∞)が存在する(拡散しない)ことを証明する方法を教えてください。数学的帰納法を使わない別の方法を探しています。

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登録：2006/05/05 15:22:00
終了：2006/05/12 15:25:03

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n_koji72 · Answer 1 · 2006-05-05T17:21:49+09:00

与式を

a(n+1)-5=(a(n)-5)/2

と変形すると，数列[a(n)-5}は

初項1-5=-4，公比1/2の等比数列

a(n)-5=-4(1/2)^(n-1)

a(n)=5-4(1/2)^(n-1)

で

n→∞のときa(n)→5

高校の教科書での標準的な解法だと思います。

#数学的帰納法使って証明できるのかな...

Z9M9Z · Answer 2 · 2006-05-05T17:27:51+09:00

a(0)=1 の間違いと解釈しまして‥

2a(n+1)-a(n)=5 ですから、両辺を2倍・4倍してあげますと

8a(n+3)-4a(n+2)=20

4a(n+2)-2a(n+1)=10

2a(n+1)-a(n)=5

適当に足すと、

8a(n+3)-a(n)=5+10+20

4a(n+2)-a(n)=5+10

2a(n+1)-a(n)=5

てな具合になるのが分かると思います。まわりくどい？ようするに

(2^n)a(n)-a(0)=5*(2^n-1)　となるわけで、両辺割り算などで

a(n)=2^(-n)+5*(1-2^(-n))　になりまして、

2^(-n)はn→∞で0ですから、a(n)は５にだんだん近づくはずです。

‥計算あってるかな‥。

松徳礼治 · Answer 3 · 2006-05-05T17:41:42+09:00

なんか5-a(n)が半分ずつになっていくようなので、

b(n)=5-a(n)とすると、

b(1)=4

b(n+1)=5-a(n+1)

　　　　=5-(5+a(n))/2

　　　　=(5-a(n))/2

　　　　=b(n)/2

公比1/2の数列が0に収束することの証明は自分で調べてください。

あとは、b(n)が0に収束するので、a(n)は5に収束します。

ys12 · Answer 4 · 2006-05-05T20:07:06+09:00

$a_{n+1}=(a_{n}+5)/2$ は

$a_{n+1}-5=(a_{n}-5)/2$ となり

$b_{n}=a_{n}-5$ なる数列 $b_{n}$ を考えると

$a_{1}=1$ より数列 $b_{n}$ は初項-4公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列となる。

よって $b_{n}=-4(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_{n}=5-(\frac{1}{2})^{n-3}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=5$ となり収束する。

これでいいんで無いでしょうか。

収束如何を帰納法で証明するというのがよくわかりませんが

a(n) = 1

回答（4件）

n_koji725312006/05/05 17:21:49

Z9M9Z343112006/05/05 17:27:51

松徳礼治1002006/05/05 17:41:42

ys12602006/05/05 20:07:06

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