チェビシェフの不等式について教えてください。一様分布が0から11で、確率がP{x: |x-5.5|>=1.6σ}である。標準偏差σの値をチェビシェフを使わずに答えろという問題です。答えは 0.076でわかっていますが、解法がわかりません。密度関数ρ(x)=1/11、標準偏差が11/√12らしいですが、なぜそうなのかもわかりません。詳細に説明お願いいたします。


下にも解法がありますが、理解できません・・・
φ(x) = 0≦x≦11のとき1/11、それ以外のとき0。
でもって、おそらくμはφの平均値(つまりμ=5.5)、σはφの標準偏差のお積もりでしょう。

φのグラフを描いてみればすぐ分かるだろうと思いますが、一様分布なんだから、P{x:
|x-5.5|>=1.6σ}ってのは、「0≦x≦11のうちで|x-5.5|>=1.6σとなるxの区間の大きさ」を11で割ったものです。

P{x: |x-5.5|>=1.6σ} = ((5.5-1.6σ) + (11-(5.5+1.6σ)) )/ 11 = (5.5-1.6σ)/5.5
あとは、標準偏差σを計算する。これは、分散(σ^2)を定義通りに積分で計算するだけです。一様分布ならとっても簡単。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/06/23 14:37:22
  • 終了:2006/06/27 08:41:00

ベストアンサー

id:dog3 No.1

dog3回答回数27ベストアンサー獲得回数12006/06/24 12:47:00

ポイント60pt

一様分布のσを求めるのは、チェビシェフの不等式と関係ありませんね。σをもとめるには、このHPにあるように、a~bの一様分布の分散は、(b-a)^2/12です。よって、標準偏差はその平方根なので、(b-a)/√12=11/√12。

===

ちなみにチェビシェフの不等式は、

 P{x:|x-μ|>=kσ}<=1/k^2

なので、質問が、上記の左項の上限を求めよ,ならば、チェビシェフの不等式に当てはめれば、1/k^2で求まります。

これを、チェビシェフの不等式を使わずに求めよという質問ならば、直接計算するのかな。

σ=3.175なので、1.6σ=5.08

|x-μ|>=5.08 つまり、x-μ<=-5.08 ,x-μ>=5.08 

まず、正側:x-μ>=5.08 を考える。

P{x-μ>=5.08}={(11-5.5)-5.08}/5.5=0.07636 ・・・(a)

#全空間の大きさが5.5で、条件を満たすのは0.42。

#一様分布なので、比をとれば条件を満たす確率が求まる。

(a)式は、正側の確率なので、負側も同様の確率が存在する。

よって、

P{x-μ>=5.08}=0.07636×2=0.1527 以上

  • id:dog3
    最後の式は誤記で、下式に訂正します。
    P{│x-μ│>=5.08}=0.07636×2=0.1527 以上

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