X,Yは、標本空間W={(x,y): 0<=x<=1 & 0<=y<=1}上の実変数関数で 、確率は(width)で与えられる。
XはX((x,y))=4x for all (x,y) in Wを満たし、
Y((x,y))=2(x+y) for all (x,y) in Wを満たす。
Fが同時確率分布X,Yとするなら、F6,1の値を求めよ。
答え：0.125
上と同じ質問で、満たす値が、
X((x,y))=8x for all (x,y) in W
Y((x,y))=4(x+y) for all (x,y) in W
F5,3であるならば、
答えは0.2734375 になります。
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確率の理解の助けになるかどうか分かりませんが、このぐらいシンプルな問題であれば幾何的に解くと早いです。
xy平面を考えて下さい。標本空間Wは原点、(1,0), (1,1), (0, 1)で囲まれた正方形で表わされます。
Xの累積確率は、X<=nを満たし、かつ正方形内に含まれる部分の面積になります(正確には正方形との面積の比ですが、正方形の面積が1なので面積がそのまま確率になります)。 Xの累積確率をFX(n)とすると、例えばFX(2)はX<=2, すなわち4x<=2, x<=1/2 の範囲で正方形に含まれる面積になるので1/2になります。
問題の場合はX<=6、すなわちx<=1.5となり、正方形は全て含まれるので1になります。
同様に、Yの累積確率をFY(n)とすると、FY(1)は(Y<=1, すなわち2(x+y)<=1となり) (0, 0.5), (0.5, 0)を通る直線の左下側の領域かつ正方形に含まれる面積になるので、前記2点と原点からなる三角形の面積になるので(1/2)*(1/2)*1/2=0.125になります。
問題のF6, 1ですが、X<=6, Y<=1, 標本空間に対応した正方形の全てを満たす領域の面積になるので0.125です。
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なるほど、ちょっと理解するまでに時間がかかりそうですが、参考になりました！ありがとうございます！