(x+1)の10乗を(x-1)の3乗で割った時の余りの求め方を教えてください。力ずくで割り算するのは無しでお願いします。微分も使わないでください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/07/09 17:13:55
  • 終了:2006/07/10 22:05:29

ベストアンサー

id:Mook No.2

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912006/07/09 20:32:19

ポイント40pt

X=x-1 とおくと問題の式は、

 (X+2)^10 / X^3

 ={10C10・X10+... + 10C8・2^8+10C1・2^9X+10C0・2^10}/X^3

 ={X^3(...) + 45・2^8X^2+10・2^9X+2^10}/X^3

ここで、問題となるのは余りの部分だけなので

 45・2^8X^2+10・2^9X+2^10があまりとなる。

元の値を代入して

 11520(x-1)^2+5120(x-1)+1024

あとはこれを解いて、よいのでは?

計算間違いは御容赦ください。

id:feynmanbl

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。

2006/07/09 22:00:21

その他の回答(5件)

id:ratbeta No.1

ratbeta回答回数132ベストアンサー獲得回数92006/07/09 17:39:47

ポイント5pt

y = x+1とおくと、yの10乗を(y-2)の3乗で割ることに簡素化できます。

…が、これ以上は割り算するしか私には思いつきませんorz

id:feynmanbl

ちょっと内容に乏しいですね。

2006/07/09 22:01:35
id:Mook No.2

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912006/07/09 20:32:19ここでベストアンサー

ポイント40pt

X=x-1 とおくと問題の式は、

 (X+2)^10 / X^3

 ={10C10・X10+... + 10C8・2^8+10C1・2^9X+10C0・2^10}/X^3

 ={X^3(...) + 45・2^8X^2+10・2^9X+2^10}/X^3

ここで、問題となるのは余りの部分だけなので

 45・2^8X^2+10・2^9X+2^10があまりとなる。

元の値を代入して

 11520(x-1)^2+5120(x-1)+1024

あとはこれを解いて、よいのでは?

計算間違いは御容赦ください。

id:feynmanbl

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。

2006/07/09 22:00:21
id:kidd-number5 No.3

kidd-number5回答回数117ベストアンサー獲得回数152006/07/09 21:24:35

ポイント30pt

Xのn乗をX^nと表すことにします。

(x+1) = (x-1+2)より、

{(x-1)+2}^10 を(x-1)^3で割れば良いです。

二項定理より

{(x-1)+2}^10 = (x-1)^10 + 10(x-1)^9×2 + ・・・・

10C3(x-1)^3 ×2^7 + 10C2 (x-1)^2×2^8 + 10C1(x-1)×2^9 + 2^10

x-1の3乗で割ったあまりは、つまり

10C2(x-1)^2 × 2^8 + 10C1(x-1)×2^9 + 2^10です。

計算すると

45(x-1)^2×2^8 + 10(x-1)×2^9+2^10

=2^8{45x^2 -90x^2 + 45 + 20x -20 + 4)

=256(45x^2 - 40x^2 + 49)

(これ以上は因数分解できないと思う・・・)

※計算が間違ってたらごめんなさい。方針はこれで良いと思います。もう少しすっきりしたとき方はあるはずですが10年も前のことで忘れました・・・

id:feynmanbl

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。

2006/07/09 22:00:29
id:apple-eater No.4

apple-eater回答回数420ベストアンサー獲得回数82006/07/09 21:43:38

ポイント25pt

(x+1)^10 を (x-1)^3 で割った余り


y=x-1とおいて

(y+2)^10 を y^3 で 割った余り

を求めればよいことになる。


y^3で割った余りをR(y)、商をQ(y)とおくと

(y+2)^10 = y^3 * Q(y) + R(y)

つまり、Q(y)は(y+2)^10をy^3でくくったものなので、

R(y)はくくれなかったものということになる。

言い換えれば

R(y)は(y+2)^10の2次以下の項ということだ。


あとは二項定理で・・・はNGかもしれないので、

定数項は 2^10

一次の項の係数は 2^9 * 10 ( 10個あるのは自明でしょ )

二次の項の係数は 2^8 * 10*9 ( 10個のうちから一つずつ抜いていって、2回かけるから)

(詳しくは順列組み合わせを参照だ)

これでR(y)が求まった。y=x-1だから代入してやればOK


こんな流れでしょう。

id:feynmanbl

二項定理を使わない方法は無いでしょうか。

2006/07/09 22:00:40
id:apple-eater No.5

apple-eater回答回数420ベストアンサー獲得回数82006/07/09 22:30:49

ポイント10pt

(y+2)^10の2次以下の項を求めるのに二項定理を使ってないでしょ。


(y+2)^10の展開をイメージすればどうでしょ。

  • 定数項:
    yがかからないのは 2を10回かけたものだけでしょ。だから
    2^10
  • 一次の項:
    一回だけyをかけて、あとは定数をかけるものは、10個あるから
    y * 2^9 * 10
  • 二次の項:
    二回yをかけるわけだから2は八回かけることになり、最初のyを選ぶ候補は10個、次のyを選ぶ候補は9個だから
    y^2 * 2^8 * 10*9
id:feynmanbl

ちょっと難しいかな。2項定理を理解しろということですよね。

2項定理も微分もまだ習っていない子供がこの問題を出されたので、困っていたのでした。

2006/07/10 21:44:30
id:laughmaker2006 No.6

laughmaker2006回答回数89ベストアンサー獲得回数12006/07/10 01:26:22

ポイント1pt

二項定理を使わない方法はありませんよ!

使いたくなければ計算するしかないですね。

id:feynmanbl

情報量が無いですね。

2項定理を使わないで微分を使う方法もあります。

(x+1)^10=(x-1)^3Q(x)+ax^2+bx+c

とおいて

x=1を代入すると

2^10=a+b+c

両辺を微分したものにやはりx=1を代入すると

10*2^9=2*a+b

さらに両辺を微分してx=1を代入すると

10*9*2^8=2a

となり、連立方程式をといてabcを求めれば、余りであるax^2+bx+cが求まります。

この方法が一番簡単なような気がするのですが、2項定理も微分も習っていない子供が解く方法があれば知りたかったわけです。

2006/07/10 21:52:13
  • id:Mook
    微分も、二項定理も使わないで式の計算をするということは、中学生でしょうか。

    最初に、求められる条件を説明いただければ、また別の説明もあったかと思います。


    ほとんど2項定理と一緒ですが、パスカルの三角形を使用して、係数を求めることもできますが、これも却下でしょうか。
  • id:feynmanbl
    質問の条件が不十分で申し訳なかったです。パスカルの三角形も多分習っていないので、理解が難しいと思います。整式の除法は、「(x-1)で割ったときの余りが○○で(x+2)で割ったときの余りが××の時(x-1)(x+2)で割った時の余りを求めよ」程度の物は問題集にもよく出ていて、この時には整式をf(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+bとか置いてf(1)とf(-2)の連立方程式からa,bを求めるというのは子供も親も理解できたのですが…
    整式の除法の問題にもいろいろとパターンがあって難しいですね。
    どうもありがとうございました。

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