1/3は0.333… 2/3は0.666… では3/3は0.999…でなくてなんで1になるんでしょうか。子供の頃からずっと疑問に思っていました。

僕は典型的な文系人間なので、そんな僕にも理解できるように、なるべくわかりやすくお願いします。

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  • 登録:2006/07/13 12:03:13
  • 終了:2006/07/20 12:05:03

回答(45件)

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10進数で考えるからいけないんです quintia2006/07/14 14:56:45ポイント2pt

3進数で考えましょうよ!

1→1

2→2

3→10

4→11

:

:


1÷3 → 0.1

2÷3 → 0.2

1÷9 → 0.01

:

:


てな感じです。

1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?

0.1 × 10 ですね?

ほらなんの不思議もなく 0.1 × 10 = 1 になったじゃないですか!


じゃ、10進数の 1/2 × 2 = 1 を 3進数で書くとどうなるでしょう?

1/2 は 3進数で書こうとすると 0.11111111…… という循環小数になります。

3進数だと 0.11111111……× 2 = 0.22222222……になりますね?

さて、この「0.22222222…… という数」はなんでしょう?

さっきはさらっと書いてしまったので、もう一度確認しますよ。

1/2 × 2 = 1 ですね? これを認めない、間違いだ、なんて言いませんよね?

ならば 3進数表記下での循環小数 0.2222222…… は 1 以外の何か別の数だというのですか?


同じように、10進数の 0.9999999…… も、1 なのですよ。

そうですね!!! nandedarou2006/07/15 18:40:22ポイント3pt

quintiaさんの解説を見て、本質的に分かった気がします。

私の理解を次のような物語風の説明にしてみました。

お時間が合ったら、読んでみて下さい。

 

●先生が十進君と三進君に言いました。

 「1個のりんごを3人に平等に分けなさい。」

 

十進君は、いつでも10個に分けてから考えます。

まず、10個に切り刻みました。それを3人に3切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、その余った1切れをさらに10個に分け、それを3人に3切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

 

三進君は、いつでも3個に分けてから考えます。

1個のりんごを3個に切り分け、3人に1切れずつ渡しました。

 

●先生が十進君と三進君に言いました。

 「1個のりんごを2人に平等に分けなさい」

 

三進君は、いつでも3個に分けてから考えます。

まず、3個に切り刻みました。それを2人に1切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、その余った1切れをさらに3個に分け、それを2人に1切れずつ渡すと、1切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

 

十進君は、いつでも10個に分けてから考えます。

あっさり1個のりんごを10個に切り分け、2人に5切れずつ渡しました。

 

●先生が十進君(6年生)と十進ちゃん(1年生)に言いました。

 「1個のりんごを1人に平等に分けなさい。」

 

十進君は、いつでも10個に分けてから考えます。

でも、何年も勉強してきました。今回は分ける必要のないことくらい経験上知っています。

1個のりんごをそのまま、1人に渡しました。

 

十進ちゃんは、いつでも10個に分けてから考えます。

まず、10個に切り刻みました。

「せっかく切ったのに、すぐに全部渡すのは嫌!後で渡すなら一緒ですよね?」

先生は言いました。「絶対に自分で食べたりしちゃダメですよ。守れるならいいです。」

先生の許可を得た十進ちゃんは、1切れ手元に残して、1人に9切れ渡しました。1切れ余りました。

次に、その余った1切れをさらに10個に分け、それを1人に9切れ渡すと、1切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

でも、十進ちゃんは、決して自分で食べたりしてませんから、間違ったことをしている訳ではありません。

 

●考察

通常私たちは、学校教育のせい(か)で10個に分ける癖(10進法で考える癖)が着いているんですね。

でも、よく考えると2個に分けて考えてもいいし、5個でもいい…。

さらに、時、分、秒は60進法でやってるので、10進法が当たり前でもない。

コンピュータの世界では2進法や16進法が使われている。

どのやり方が正しいとか間違いとかいうことではなく、表現が違うということ。

 

しかし、ここで疑問がわきます。エクセルが計算間違いする(http://www.asahi-net.or.jp/~FV6N-TNSK/gates/excel.txt)と言うのです。

表現が違うだけで、正しいとするならば、10進法を2進法で扱っても計算間違いはしないハズ。なのに、なぜエクセルは間違うのか?

 私はこれを読んでみて、2進法で表せない数があるというよりも、無限に続くということをコンピュータの計算に反映させるのが難しいからなんだと理解しました。

 

以上、素人考えで不正確な点や誤りもあると思いますが、私はなんとなく感覚的に分かったつもりになりました。

突っ込みどころ満載かも知れませんが、あえて投稿しました。

面白い喩え話だと思います quintia2006/07/17 10:50:35ポイント1pt

狭いPHSの画面で読んだので、十進君と十進ちゃんが最初府に落ちなかったのですが、読み返してみて「面白いな」と思いました。

十進君と三進君は私が示したかったことを、とても上手に表現していると思います。

一般化すると quintia2006/07/16 05:28:33ポイント1pt

エクセルの件は0.1が2進数で有限の桁で表現できない(循環少数になる)ということから起きる問題ですね。


もう少し一般化すると、どんな基数(ただし2以上の自然数)を採用しても、有限の桁で少数表現できない有理数が必ず存在します。

その典型が(n+1)進数での1/nで、必ず0.1111…となります。

これにnをかけると0.nnnn…という表記になってしまいます。

ところが同じ計算をn進数で書くと

0.1×10=1

になることがわかります。


0.9999…=1

は証明するようなものではなくて、少数点表記がかかえる限界の発露だと私は思っています。

訂正 quintia2006/07/14 15:07:02ポイント1pt

>1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?

1/3 × 3 というかけ算は 3進数ではどう書きますか?

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