連続複利の式

lim_n→∞(1+r/n)^(nt) = exp(rt)
の導出方法を教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/07/25 10:52:53
  • 終了:2006/07/26 09:47:34

回答(5件)

id:kurukuru-neko No.1

kurukuru-neko回答回数1844ベストアンサー獲得回数1552006/07/25 11:31:36

id:kazuasa77

lim_x→∞(1+1/x)^x = e の導出を問うております

2006/07/25 11:51:19
id:tatsumi-da No.2

tatsumi-da回答回数24ベストアンサー獲得回数52006/07/25 12:41:11

ポイント40pt

関数y=log (1+x)は、原点において接線の傾きが1になるので、

lim_x→+0 (log(1+x))/x = 1

logの性質より

lim_x→+0 (log(1+x))^(1/x) = 1

ここで、y=1/xとおくと、x->+0のときy->∞なので、

lim_y→∞ (log(1+1/y))^y = 1

logの連続性から

lim_y→∞ (1+1/y)^y = e

id:kazuasa77

ありがとうございました

2006/07/26 09:44:43
id:gerongcha No.3

ゲロンチャ回答回数17ベストアンサー獲得回数02006/07/25 15:14:38

ポイント30pt

lim_x→∞(1+1/x)^x = e

→lim_(x→∞)xlog(1+1/x)=1 : 両辺のlog(底はe)をとる

→lim_(x→∞){log(1+1/x)/(1/x)}=1

→lim_(s→0){log(1+s)/s}=1 : 変数の置換(s=1/x)

→lim_(s→0)[{log(1+s)-log1}/{(1+s)-1}]=1

→d/dr(logr)=1 (r=1) : 微分の定義式を適用

→1/r=1 (r=1)

→1=1

導出というか証明ですが。

http://www.google.co.jp/

id:apple-eater No.4

apple-eater回答回数420ベストアンサー獲得回数82006/07/25 17:38:33

ポイント10pt

つまり、ネイピア数eの求め方ですね?

上記リンクでほとんど回答されているのですが、

まず、exp(x)を定義します。

eはexp(1)です。

exp(x)は微分方程式

exp(0)=1 , exp(x)の導関数=exp(x) で定義されます。

このことから、exp(x)を級数展開して

(級数展開はOK?)

exp(x) = lim ∑(1/n!)x^n (上記リンクの数式参照のこと)

exp(1) = lim ∑(1/n!)

二項定理より、lim (1 + 1/n) ^n

id:apple-eater No.5

apple-eater回答回数420ベストアンサー獲得回数82006/07/25 18:34:37

ポイント20pt

補足というか言い訳:

最後のツメは二項定理を使うもんのそのままではないことに気がついた。

(1 + 1/n )^n の二項展開の極限を考察する必要がありました。

解析入門30講(P.179)

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  • 出版社/メーカー: 朝倉書店
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図書館で探してみて下さい。

id:kazuasa77

深そうですね。読んでみます。

2006/07/26 09:44:47

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  • 自然対数の底の定義 i_kumagoroの日記 2006-07-26 11:26:11
    question:1153792372より lim_x→∞(1+1/x)^x = e の導出を問うております それはeの定義の一つなので、それを自明とみなさないのであれば前提として用いる事のできるeの定義を提示する事が必要。
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