何角形なら転がるの？

文系人間の純粋に知的好奇心からの質問です。物理などに詳しい方、教えてください。

たとえば45度の角度の板の上に、サッカーボールのような球体を、そっと置くと、自然に転がっていきます。

しかし、同じ重さでも正三角形や完全な立方体だと転がりません。

正六角形や正八角形ではどうでしょうか。思考実験ではまだ転がらないような気がします。

100角形や200角形なら球に近くて、転がると思います。

坂の傾斜度、物体の重量、摩擦係数など変数が作用していると思いますが、それが一定である場合、正何角形ならば、自然に転がるのか、計算する方法を教えてください。

それについて記述のあるページの情報でも結構です。

また。こうした計算は何らかの応用領域などが既にあるのでしょうか。

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http://q.hatena.ne.jp

ダミーです。

まず、重心が底面から外れると、そっちに転がります（というより、倒れます）。

ここでは、坂を45度に固定します。

対象を正多角形の筒状の物とし、滑らないものとます。

で、図を描くとすぐに判るのですが、４角形以上であれば、底面から重心が外れるので、坂下に倒れて、更に、同じく倒れ続けるので、転がります。

同じように、坂の角度が決まれば、図を描くとすぐに判ります。

これで、いいですか？

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ｎ角形の場合に何度以上の傾斜で底面から重心が外れて転がるかというと、以下の式を計算したものになります。

１８０÷ｎ

つまり四角形なら４５度よりも急な斜面、五角形なら３６度より急な斜面で転がります。

ただ三角形の場合には６０度の斜面でころがるかというと、その前に滑ってしまいそうです。上の計算で求めた角度で滑らないというのが、転がる条件です。

斜面の角度のサインが摩擦係数よりも大きくなると滑ります。詳しくはリンク先を参照してください。

http://dxsimulation.at.infoseek.co.jp/physical/admission/mov...

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計算式にするとこうなりますね。

正n角形の重心は各角度の2等分線の上にあります。坂の角度に正n角形の角度の半分を足したものが90度より大きくなれば転がります。

正n角形の角度＝180＊（n-2）/n　この半分を90から引くと180/nとなります。

正三角形なら60度、四角形45度、五角形36度、六角形30度、八角形22.5度です。

ただし、45度とかだとすべってしまう可能性が高い。坂の表面が非常にざらざら

しているとかで摩擦が大きいとした場合です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%...

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　問題と回答を見ながら、立体（球、立方体等）と平面体（六角形等）がこんがらがってしまいました。

　先にコメントしておきますが正多面体（同じ正多角形で構成されている立体）は５種類しかありません。

　問題の主旨から２次元で考えることにします。

　傾斜角について議論されている回答もありましたが、皆さん真面目ですね。私なんぞは物理の試験で六角形の鉛筆に何度か頼りましたが、そこには頼らなかったのかな？それともkajintさんの計算だと皆さんの机は３０度の傾斜があったのかな？（笑）

　摩擦や空気抵抗を無視すると、物体には回転方向の慣性力と重力加速度以外の力はかかりません。

　多角形が平面を転がる場合、もう一つエネルギー保存則の影響があります。つまり、四角形なら丁度辺が接している場合に最も重心が低い位置にあり、頂点を挟んで平面とその２辺との角度が対象の時重心位置が最高となります。

　０．５ｍＶ＊＊２＝ｍｇｈ

Ｖ≧０であれば、回り続けるであろうとなります。

　途中を省略します。角速度は無限に大きくできますが、ｈの差分（最高点と最低点の高低差）は一辺に対してそう大きくできません。よってある程度の回転速度を与えれば回転すると言うことになります。

　最初は回転座標系で考えられるかと思いましたが、これが一番シンプルな回答でしょう。

　非常に面白い問題でした。

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　これは回答ではなく、4番の回答へのコメントですので、こちらにはポイントはいりません。

　どのような初速を与えれば回転を始めるかというのはおもしろい問題だと思いますが、

質問とは別の問題ですから、その趣旨を断り、できればコメントの形にした方がいいでしょう。

　「何角形なら転がるか」は入試にも使えるような良問で、これを思いついたdaiyaさんはすごいと思います。

　「正多角柱が自然に転がる坂の傾斜条件」と言い換えてもいいですが、なんだかわかりにくくなりますね。

http://www5d.biglobe.ne.jp/~MY55029/subA002.htm

（正多角柱のきれいなグラフィックスがあったので、ダミーURLにしておきます）

　ついでに、自分の回答ですが、式と言いながら、言葉で書いていてわかりにくい気がしたので、式にします。

　坂の傾斜をX度と置きます。転がる条件は

X+180×（n-2）/n÷2 ＞ 90

X ＞ 90-90×（n-2）/n ＝90×｛1-（n-2）/n｝＝90×（2/n）＝180/n

が条件となります。

＜n角形の内角の和は、180×（n-2）となるので、正n角形の内角は、180×（n-2）/nとなります＞