数学の問題です。

直角三角形ABCの斜辺BC上を点Pが動く。Pから辺AB,ACに垂線PQ,PRを引く。この時、三角形PQRの面積を最大にする点Pの位置を求めてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/09/28 21:32:04
  • 終了:2006/09/28 22:55:53

ベストアンサー

id:kosuke2020 No.1

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/09/28 21:50:12

ポイント27pt

A(0.0),B(a.0),C(0.b)とおく。

辺BC上の点Pは、直線y=(-a/b)x+a上の0≦x≦bの範囲で動く点なので、P(t,(-a/b)t+a)(0≦t≦b)とおける。

点Pから辺ABに引いた垂線との交点Qは(0,(-a/b)t+a)

点Pから辺ACに引いた垂線との交点Rは(t,0)とおける。

このときの三角形PQRの面積をSとすると、

S=(1/2){(-a/b)t+a}t=(1/2){(-a/b)t^2+at}

=(1/2)[(-a/b){t-(b/2)}^2+(ab/4)]

となり、t=b/2のとき、Sは最小値ab/8をとる。(終)

http://www.yahoo.co.jp/

id:pon--ta

ご解答ありがとうございました。

2006/09/28 22:54:36

その他の回答(3件)

id:kosuke2020 No.1

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/09/28 21:50:12ここでベストアンサー

ポイント27pt

A(0.0),B(a.0),C(0.b)とおく。

辺BC上の点Pは、直線y=(-a/b)x+a上の0≦x≦bの範囲で動く点なので、P(t,(-a/b)t+a)(0≦t≦b)とおける。

点Pから辺ABに引いた垂線との交点Qは(0,(-a/b)t+a)

点Pから辺ACに引いた垂線との交点Rは(t,0)とおける。

このときの三角形PQRの面積をSとすると、

S=(1/2){(-a/b)t+a}t=(1/2){(-a/b)t^2+at}

=(1/2)[(-a/b){t-(b/2)}^2+(ab/4)]

となり、t=b/2のとき、Sは最小値ab/8をとる。(終)

http://www.yahoo.co.jp/

id:pon--ta

ご解答ありがとうございました。

2006/09/28 22:54:36
id:jhelomgreen No.2

jhelomgreen回答回数24ベストアンサー獲得回数02006/09/28 21:52:44

ポイント33pt

三角形PQRの面積の最大は四角形PQARの最大。四角形PQARの最大は正方形。PQARを正方形にする正方形一辺の長さは(AB-x)/x=x/(AC-X)が成り立つx。まちがってなければx=(ABXac)/(AB+AC)かな・・・

id:pon--ta

ご解答ありがとうございました。

2006/09/28 22:54:49
id:kosuke2020 No.3

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/09/28 22:00:38

ポイント26pt

答えの点Pの位置を書き忘れました。すいません。

上記の答えの通り、t=b/2のときSが最小となるので、そのときの点Pの座標は

(t,(-a/b)t+a)=(b/2,(-a/b)(b/2)+a)=(b/2,a/2)

つまり、辺BCの中点ということになります。

id:pon--ta

ご親切にありがとうございます。

2006/09/28 22:55:15
id:aska186 No.4

aska186回答回数158ベストアンサー獲得回数02006/09/28 22:54:37

ポイント10pt

PがBCを1\,:\,\alphaに内分しているとすれば、

BQ\,:\,QA=AR\,:\,RC=1\,:\,\alpha

よって、QA=\frac{\alpha}{1+\alpha}AB,\qquad AR=\frac{1}{\,1+\alpha\,}AC

問題となる\triangle PQRの面積は、

\frac{1}{\,2\,}QA\cdot AR=\frac{1}{\,2\,}AB\cdot AC\frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}

=\frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}\triangle ABC

ここで、

\frac{\alpha}{\,(1+\alpha)^2\,}=\frac{1}{\frac{1}{\,\alpha\,}+\alpha+2}

の最大値は、分母の最小値のときである。

(相加平均)\ge(相乗平均)の公式から、

\frac{1}{\,\alpha\,}+\alpha\ge 2

となることから、分母の最小値は4

このときの\alphaの値は、\alpha=1となるから、

求めるPは、辺BCの中点である。

このとき、三角形PQRの面積は、三角形ABCの面積の4分の1となる。

  • id:kosuke2020
    ごめんなさい。結構間違いがありました。

    まず一つ目は、Sの最小値ではなく、最大値ですね。最大値の求め方はあってるのに、言葉だけ「最小値」と間違えてました。

    二つ目は、「A(0.0),B(a.0),C(0.b)」と座標を定めているのに、回答した式では「A(0.0),B(b.0),C(0.a)」と点BCの座標が入れ替わってました。

    以下に正しく回答し直します。

    >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
    A(0,0),B(b,0),C(0,c)(b>0,c>0)とおく。すると、b,cがb>0,c>0の範囲でどんな値をとっても△ABCは直角三角形になり、b,cの値はb>0,c>0の範囲で自由に選ぶことができるので、△ABCは全ての直角三角形を表すことができる。

    辺BC上の点Pは、2点BCを通過する直線y=(-c/b)x+c上の0≦x≦bの範囲で動く点なので、P(t,(-c/b)t+c)(0≦t≦b)とおける。

    点Pから辺ABに引いた垂線との交点Qは(t,0)
    点Pから辺ACに引いた垂線との交点Rは(0,(-c/b)t+c)とおける。

    このときの三角形PQRの面積をSとすると、

    S=(1/2){(-c/b)t+c}t=(1/2){(-c/b)t^2+ct}
    =(1/2)[(-c/b){t-(b/2)}^2+(cb/4)]

    となり、t=b/2のとき、Sは最大値bc/8をとり、そのときの点Pの座標は

    (t,(-c/b)t+c)=(b/2,(-c/b)(b/2)+c)=(b/2,c/2)

    つまり、辺BCの中点ということになります。


この質問への反応(ブックマークコメント)

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

絞り込み :
はてなココの「ともだち」を表示します。
回答リクエストを送信したユーザーはいません