論理パズル「嘘つき天秤」最初の正解に500ポイント


 見た目も大きさも同じ8個の重りがあります。7個は重さも同じですが1つは他よりわずかに軽いニセモノです。天秤を使ってニセモノを確実に特定するには何回天秤を使う必要があるでしょうか。ただしこの天秤はただの天秤ではなく嘘つき天秤で、1回だけ嘘をつく(左に傾く・右に傾く・釣り合うの中から間違った結果を出す)可能性があります。

 たまたま面白い論理パズルができたので出題します。完全な解答を含む最初の解答に全ポイント差し上げます。回数を当てるだけではなく、実際にその回数で特定できる手順と、それ未満の回数では不可能であることの両方を示さなければなりません。

神は細部に宿り給う 頭の体操第3回 嘘つき天秤
http://tkido.blog43.fc2.com/blog-entry-191.html

 問題ができた経緯と多少のヒントが上の私のブログにありますが、終了までこれ以上ヒントを追加することはありません。致命的な説明不足が発見されない限り質問にも答えません。解答可能数は2回です。先に解答した人の答えを参考にするのもありです。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/07 11:08:09
  • 終了:2006/10/07 21:52:20

ベストアンサー

id:Daniel No.6

Daniel回答回数23ベストアンサー獲得回数42006/10/07 20:13:56

ポイント500pt

ステップ01:3つずつを天秤に載せ2つ残します。天秤がどちらかに傾いたものとします。

天秤が釣り合い残りの2つが軽いと判定された場合は後でまとめて検証します。軽いと判定された側の重りを○、逆側の重りを□、残りの重りを×で表します。

○○○ □□□ ××

ステップ02:重りを並べ替えてから再び3つずつ天秤に載せます。

○□× ○□□ ○×

ここでも釣り合う場合を後で考える事にしてどちらかに傾いたものとします。軽い側の重りを下線をつけて表します。2通りの結果がありえて、それぞれの場合をa,bで表します。

a: ○□× ○□□ ○×

b: ○□× ○□□ ○×

ステップ03:さらに以下のように並び替えてから3つずつ天秤に載せます。

a: □× ○□ ○×

b: □× ○× ○

このステップで軽いと判定されたグループを場合ごとに以下のように呼ぶことにします。

a1: □×, a2: ○□, a3: ○×

b1: □×, b2: ○×, b3: ○

ステップ04:ステップ03ででた結果の場合ごとに軽いと判定されたグループの中から2つ重りを選んで天秤に載せます。

  • a1:
    • 釣り合った場合:ステップ04が真とすると03を真としても偽としても矛盾します。したがって04が偽、軽いのは
    • 左が軽い場合:4つのステップの結果に矛盾無く、どれか1つの条件を落としてもで確定します。
    • 右が軽い場合:01と02の結果に矛盾します。したがって04が偽。で確定します。
  • a2:○
    • 釣り合う場合:既に01,02,03の内どれか1つが偽です。釣り合う場合03が偽であり、軽いのは
    • 左が軽い場合:この場合02が偽であることが分かり、○で確定します。
    • 右が軽い場合:この場合01が偽であることが分かり、で確定します。
  • a3: ○ ×
    • 釣り合う場合:既に01,02,03の内どれか1つが偽です。釣り合う場合03が偽であり、軽いのは
    • 左が軽い場合:この場合02が偽であることが分かり、○で確定します。
    • 右が軽い場合:この場合01が偽であることが分かり、×で確定します。

以下検証は省略しますが同様に、

  • b1:
    • 釣り合う場合:で確定します。
    • 左が軽い場合:で確定します。
    • 右が軽い場合:で確定します。
  • b2:○
    • 釣り合う場合:で確定します。
    • 左が軽い場合:○で確定します。
    • 右が軽い場合:で確定します。
  • b3:○
    • 釣り合う場合:で確定します。
    • 左が軽い場合:○で確定します。
    • 右が軽い場合:で確定します。

残るはステップ01,02で残り2つが軽いと判定された場合です。

ステップ01で残り2つが軽いと判定された場合にはその2つを天秤にかけます

  • 釣り合う場合:01の結果と矛盾するので01か02が偽。後は偽は出ないので残り2回で判定できます。
  • どちらかが軽いと判定される場合:さらに2度この2つを天秤にかければ確定します。

ステップ01は重り3つのグループが軽いと判定されステップ02で○□× ○□□ ○×の内 ○× のグループが軽いと判定された場合には、このグループの重りを天秤に1つずつかけます。

  • 釣り合う場合:02と矛盾します。したがって1は真。3つの○の内のどれかが軽いので04で確定できます。
  • ○が軽い場合:03が偽とすると01も偽となるので03は真。このグループの○で確定できます。
  • ×が軽い場合:01と矛盾します。したがって02は真。もう一度このグループを量れば確定できます。

以上で4回で確定できることの解答とします。

重り3つの場合を考えると1回目と2回目の結果が矛盾する場合にはどちらが正しいのかを確定するために3回目が必要になります。重り4つの場合を考えると、3つの場合では3回の結果から1つの重りに限定されていたものが重り2つのグループまでしか確定できない場合がありえます。したがって重り4つ以上では3回以下では確定できません。


なんだか自分でももうよく分からない解答ですが採点お願いします。

id:takanorikido

前半部の手順は一応漏れはなさそうです。表記がややこしいので私が見落としてなければですが。よく場合分けで最後までできましたね。

ただ後半部は重り3個が3回でできることを示しただけで4個が3回でできないことを示してはいるというにはちょっと弱いと思います。

3個の場合と全く別の手順を踏めばできるのかもしれません。仮に4個でできなくても8個ならできるという可能性を否定したわけではありません(ほぼ自明ですが)。

しかし間違ったことは言っていませんし、3個と4個の境目に言及できるあたり理屈は分かっていそうなので正解と認めたいと思います。おめでとうございます!

模範解答はブログの方に書きます。

2006/10/07 21:50:20

その他の回答(5件)

id:kitata1 No.1

kitata1回答回数105ベストアンサー獲得回数02006/10/07 12:09:24

①8個の重りを3 3 2に分ける

②一回目の天秤には3と3を使う

③これでつりあわなかった場合は、2を使う

④どっちが軽いかこれで分かる

⑤ ③でつりあわなかった場合は、軽いほうの3を2 1に分ける。

⑥2を使うこれで軽い方がニセモノと言う事がわかる

⑦だけどつりあわなかった場合は、1がニセモノと言う事になる

⑧しかし、この天秤は、一回だけ嘘をつくから①~⑦を三回繰り返す。

⑨三回繰り返すと三回繰り返したうち一回は、間違った結果が出る

⑩つまり、三回繰り返したうち二回が本当の結果と言う事になる。

手順は①~⑩です。回数は六回です。これ未満の回数では天秤を使ってニセモノを見つけ出すことは不可能です。

はてな

id:takanorikido

正解とは認められません。これ未満の回数で不可能なことを示すことができていません。

2006/10/07 12:20:06
id:kitata1 No.2

kitata1回答回数105ベストアンサー獲得回数02006/10/07 12:52:11

①8個の重りを3 3 2に分ける

②一回目の天秤には3と3を使う

③これでつりあわなかった場合は、2を使う

④どっちが軽いかこれで分かる

⑤ ③でつりあわなかった場合は、軽いほうの3を2 1に分ける。

⑥2を使うこれで軽い方がニセモノと言う事がわかる

⑦だけどつりあわなかった場合は、1がニセモノと言う事になる

⑧しかし、この天秤は、一回だけ嘘をつくから①~⑦を三回繰り返す。

⑨三回繰り返すと三回繰り返したうち一回は、間違った結果が出る

⑩つまり、三回繰り返したうち二回が本当の結果と言う事になる。

手順は①~⑩です。回数は六回です

これ未満の回数で不可能な理由

例1

①もし、八個を4(2+2) 4(2+2)に分けたとします

②天秤に4 4で置きます。一回目

③軽い方を2 2に分けて使います二回目

④軽い方を1 1に分けて使います三回目

⑤軽い方がニセモノと言う事になります

①~⑤を三回繰り返すと九回になります

3より少なくわけると2 2 2 2になる。これは例1と同じ回数になってしまう。1 1 6も例1と同じ回数になってしまう

だから、それ未満の回数は、ないからそれ未満の回数では不可能といことになる

はてな

id:takanorikido

残念ですが正解とは認められません。これ以上はヒントになるので言えません。

2006/10/07 13:00:11
id:yoshi_12 No.3

yoshi_12回答回数18ベストアンサー獲得回数22006/10/07 13:24:39

偽者の重りを特定するのに必要な天秤の回数は、最短で4、最長で5だと思います。

(4以下では不可能であり、5で確実に可能)



・4以下で不可能である理由は、

まず、金貨8枚における一回目の天秤の時、天秤の結果が正しいかどうか判断する為に2回同じパターンを行わなくてはならない。

そして、2回同じパターンを行った結果が同じだった場合、その結果が正しい事が証明される。

しかし、後に嘘をつく可能性はまだ消滅していないので、第二のパターンも2回行わなくてはならない。



第二のパターンを二回行った結果がまた同じだった場合は、天秤は嘘は一度もついていないという事になり、そこで偽者の重りを特定できる。

第二のパターンを二回行った結果が違っていた場合は、どちらかが嘘をついているという事になり、どちらが正しいのか証明するためにもう一度パターンを繰り返さなくてはいけない。(もう一度繰り返した所で必ず重りを特定出来る)



一方、一回目のパターンを二回行った結果が違っていた場合、どちらかの天秤が嘘という事になり、さらにどちらが正しいか証明する為にもう一度同じパターンを繰り返さなくてはならない。

しかし、嘘であった事が証明出来れば、後に嘘をつく可能性は消滅するので、残りは1ですむ



まとめると、

正しいか、嘘をついているか判断するのに2回必要。

嘘をついている事がわかった場合、嘘がどれか確かめるためにもう一回必要。

嘘をついたことがわかれば、それ以降は嘘をつく可能性がない。



・手順については↑がほとんど手順になってるので省略します。

id:takanorikido

残念ですが正解と認められません。また手順はもう少し具体的に書いて下さい。3個3個2個に分けて計ることが前提だと思われるので意味は分かりますが、それは必ずしも自明ではないので(この解答を具体的にしただけではだめです)。

2006/10/07 13:32:09
id:herbest_an No.4

herbest_an回答回数28ベストアンサー獲得回数22006/10/07 13:59:07

4回です。

天秤の嘘がない場合

8枚の重りから1枚見つけるには2回で可能です。

・3:3と1:1に分ける。

・3:3が均等なら1:1でわかる。

・3:3が傾けば1:1残り1でわかる。

以上を踏まえて。

天秤が嘘を付くのは一回目か二回目

一回目で嘘は暴けないので二回目で見つける

二回目のパターンは二つ

①一回目が3:3で均等になり二回目1:1で計測

②一回目が3:3で傾き、二回目1:1 残り1で計測


①の場合二回目をもう一度計測

  均等なら一回目が間違いでやり直せば 計4回

  傾けば二回目が間違いで        計3回

②の場合二回目の計測が均等であるかそうでないかで変わる。

 一回目が嘘なら二回目は必ず均等になるので傾いていれば二回目が嘘

 もう一度同じ計測をするだけでわかるので   計3回

 均等の場合二回目が嘘なので残した重りは本物である。

 天秤に乗ってる片方の重りと残した一個を入れ替えて計測

 三回目の計測で均等なら交換した(天秤から降ろした)重りが偽重り  計3回

 三回目の計測で交換しなかった重りが上がればそれが偽重り      計3回


[4回以下無理な理由]

・3つの答えを出す天秤の性質上、天秤の嘘なしで2回が最低。

・一回目は天秤の嘘を見抜けない。

・①の二回目が均等の場合もう一度計測が必要。

・他のパターンは全て3回以下で求められる。

ごちゃごちゃしててわかり難いですが最長で4回です。

id:takanorikido

正解とは認められません。①前半だけでも均等・均等・均等と出た場合1回目が嘘だと分かっても、1回目に天秤に載せた6個のどれがニセかあと1回では確実には特定できません。

2006/10/07 14:21:35
id:kunit_mac No.5

kunit_mac回答回数43ベストアンサー獲得回数02006/10/07 16:06:12

http://q.hatena.ne.jp/1160186888

回答:4回天秤を使う


仮説1

天秤が正直な場合、最小2回でニセモノを特定できる。

1回目は、左右に3個づつのせる。

釣り合った場合、残り2個のどちらかがニセモノ。(下図参照)

  ①②③④⑤⑥⑦⑧

  ------    ←この3個+3個の測定をパターンAとします

        ○偽  ←最後の1個+1個の測定をパターンBとします

  ※-:釣り合った重り  ○:重い  ×:軽い  偽:ニセモノ

傾いた場合、軽い3個のどれかがニセモノ。1個づつのせ、釣り合うと残り1個がニセモノで、傾くと軽いのがニセモノ。(下図参照)

  ①②③④⑤⑥⑦⑧

  ○○○×××    ←パターンA

     --偽    ←パターンB

  ①②③④⑤⑥⑦⑧

  ○○○×××    ←パターンA

     ○偽     ←パターンB


仮説2

「見た目も大きさも同じ3個の重り」があり「1回だけ嘘をつく天秤」で測った場合、3回天秤を使う必要があります。その後、意味も無く天秤を何回利用しても嘘をつくことはありません。

この仮説から、天秤は最初の3回中必ず1回嘘をつき、あとは必ず正しい結果となることがわかります。


この2つを踏まえて、

  最初にパターンAを3回(天秤は1回だけ嘘をついているので、多数決で決まる)

  最後にパターンBを1回(天秤は必ず正しい結果)

と行うと、ニセモノの特定はできます。


天秤が嘘をつく以上、2回でできないのは自明です。

3回(例:パターンA2回、パターンB1回)では、何回目が嘘かを判断できますが、片方の正解だけがわかりもう片方の正解がわかりません。ゆえに3回では不可能です。


こんなんでどうでしょうか。

id:takanorikido

正解とは認められません。この手順ではパターンAを3回計っている間に嘘が出る場合しか特定できません。最初の3回目までの結果が全部同じだったとき4回目が嘘の可能性が残り失敗になります。

2006/10/07 16:28:33
id:Daniel No.6

Daniel回答回数23ベストアンサー獲得回数42006/10/07 20:13:56ここでベストアンサー

ポイント500pt

ステップ01:3つずつを天秤に載せ2つ残します。天秤がどちらかに傾いたものとします。

天秤が釣り合い残りの2つが軽いと判定された場合は後でまとめて検証します。軽いと判定された側の重りを○、逆側の重りを□、残りの重りを×で表します。

○○○ □□□ ××

ステップ02:重りを並べ替えてから再び3つずつ天秤に載せます。

○□× ○□□ ○×

ここでも釣り合う場合を後で考える事にしてどちらかに傾いたものとします。軽い側の重りを下線をつけて表します。2通りの結果がありえて、それぞれの場合をa,bで表します。

a: ○□× ○□□ ○×

b: ○□× ○□□ ○×

ステップ03:さらに以下のように並び替えてから3つずつ天秤に載せます。

a: □× ○□ ○×

b: □× ○× ○

このステップで軽いと判定されたグループを場合ごとに以下のように呼ぶことにします。

a1: □×, a2: ○□, a3: ○×

b1: □×, b2: ○×, b3: ○

ステップ04:ステップ03ででた結果の場合ごとに軽いと判定されたグループの中から2つ重りを選んで天秤に載せます。

  • a1:
    • 釣り合った場合:ステップ04が真とすると03を真としても偽としても矛盾します。したがって04が偽、軽いのは
    • 左が軽い場合:4つのステップの結果に矛盾無く、どれか1つの条件を落としてもで確定します。
    • 右が軽い場合:01と02の結果に矛盾します。したがって04が偽。で確定します。
  • a2:○
    • 釣り合う場合:既に01,02,03の内どれか1つが偽です。釣り合う場合03が偽であり、軽いのは
    • 左が軽い場合:この場合02が偽であることが分かり、○で確定します。
    • 右が軽い場合:この場合01が偽であることが分かり、で確定します。
  • a3: ○ ×
    • 釣り合う場合:既に01,02,03の内どれか1つが偽です。釣り合う場合03が偽であり、軽いのは
    • 左が軽い場合:この場合02が偽であることが分かり、○で確定します。
    • 右が軽い場合:この場合01が偽であることが分かり、×で確定します。

以下検証は省略しますが同様に、

  • b1:
    • 釣り合う場合:で確定します。
    • 左が軽い場合:で確定します。
    • 右が軽い場合:で確定します。
  • b2:○
    • 釣り合う場合:で確定します。
    • 左が軽い場合:○で確定します。
    • 右が軽い場合:で確定します。
  • b3:○
    • 釣り合う場合:で確定します。
    • 左が軽い場合:○で確定します。
    • 右が軽い場合:で確定します。

残るはステップ01,02で残り2つが軽いと判定された場合です。

ステップ01で残り2つが軽いと判定された場合にはその2つを天秤にかけます

  • 釣り合う場合:01の結果と矛盾するので01か02が偽。後は偽は出ないので残り2回で判定できます。
  • どちらかが軽いと判定される場合:さらに2度この2つを天秤にかければ確定します。

ステップ01は重り3つのグループが軽いと判定されステップ02で○□× ○□□ ○×の内 ○× のグループが軽いと判定された場合には、このグループの重りを天秤に1つずつかけます。

  • 釣り合う場合:02と矛盾します。したがって1は真。3つの○の内のどれかが軽いので04で確定できます。
  • ○が軽い場合:03が偽とすると01も偽となるので03は真。このグループの○で確定できます。
  • ×が軽い場合:01と矛盾します。したがって02は真。もう一度このグループを量れば確定できます。

以上で4回で確定できることの解答とします。

重り3つの場合を考えると1回目と2回目の結果が矛盾する場合にはどちらが正しいのかを確定するために3回目が必要になります。重り4つの場合を考えると、3つの場合では3回の結果から1つの重りに限定されていたものが重り2つのグループまでしか確定できない場合がありえます。したがって重り4つ以上では3回以下では確定できません。


なんだか自分でももうよく分からない解答ですが採点お願いします。

id:takanorikido

前半部の手順は一応漏れはなさそうです。表記がややこしいので私が見落としてなければですが。よく場合分けで最後までできましたね。

ただ後半部は重り3個が3回でできることを示しただけで4個が3回でできないことを示してはいるというにはちょっと弱いと思います。

3個の場合と全く別の手順を踏めばできるのかもしれません。仮に4個でできなくても8個ならできるという可能性を否定したわけではありません(ほぼ自明ですが)。

しかし間違ったことは言っていませんし、3個と4個の境目に言及できるあたり理屈は分かっていそうなので正解と認めたいと思います。おめでとうございます!

模範解答はブログの方に書きます。

2006/10/07 21:50:20
  • id:kitata1
    正解は何ですか?
  • id:takanorikido
    それを答える問題です。
  • id:taknt
    3 3 2にわけて
    最初 3 3ではかる。
    もう一度 3 3ではかり、最初と結果が違ったら
    また 3 3ではかる。
    それで つりあったら 次は 最初に わけた 2を 1 1にわけてはかる。
    これを 最初と同様に2回 はかる。
    結果が違ったら もう一度 はかり 軽いほうがニセモノとなる。

    最初のが つりあわなかった場合は 軽いほうを 1 1 1にわけ
    1 1で はかる
    これを 最初と同様に2回 はかる。
    結果が違ったら もう一度 はかり 軽いほうがニセモノとなる。

    という手順になると思うが、これ未満の回数で不可能という証明がわからないので コメントにしておきます。
  • id:ipacket
    帰ってくる間に、回答がでてたw

    一回、普通の天秤で問題を解く。

    次に、普通の天秤と嘘つき天秤の回数で比較すれば解ける。
  • id:takanorikido
    こちらに解答。
    http://tkido.blog43.fc2.com/blog-entry-194.html

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