0≦x≦π/2の範囲で、2曲線y=tanx,y=asin2xとx軸で囲まれた図形の面積が1となるように、正の定数aを求めて下さい。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/08 15:49:15
  • 終了:2006/10/08 18:52:39

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id:Mook No.1

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912006/10/08 17:57:58

ポイント60pt

y=\tan xy=a \sin 2t の交点を t とすると

\tan t = a \sin 2tより

2a = \frac{1}{\cos^2tが成り立つ。・・・①


また問題となる面積はtを分岐とする二つの曲線の積分の和であるから、

S(a) = \int_0^t{\tan{x}dx + \int_t^{\frac{\pi}{2}}~a\sin 2x dx

=\[-\lg \|{\cos x\|\]_0^t+\frac{a}{2}\[ -\cos 2x\]_t^{\frac{\pi}{2}}

=-\lg \({\cos t} \) + \lg 1 + \frac{a}{2} \( -\cos \pi + \cos 2t \)・・・②

ここで①を変形すると

\cos t = \sqrt{\frac{1}{2a}} が得られ、これを②に当てはめると、

S(a) = \frac{1}{2}\lg 2a + \frac{1}{2}となる。


ここで、求める方程式は

S(a) =1であるから

a = \frac{e}{2}が解となる

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/08 18:52:10

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