xが区間0≦x≦πにあるとき、2つの曲線y=sinxおよびy=asin2x(a≧0)で囲まれた部分の面積を求めて下さい。

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  • 登録:2006/10/08 15:51:43
  • 終了:2006/10/08 18:51:16

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id:KazuyaMitsutani No.1

KazuyaMitsutani回答回数6ベストアンサー獲得回数22006/10/08 17:14:12

ポイント60pt

基本的にxで積分してときます。

ですが、sinxとasin2xのどちらが大きいかによって非積分関数が変わるというのがちょっと面倒な点です。

そこでまずsinxとasin2xの交点を求めておきます。

交点のx座標をx0とすると

 sinx0 = asin2x0

 sinx0 = 2asinx0cosx0

 cosx0 = 1/2a   (1)

となります。つまり交点の座標は具体的には分かりませんが cosx0 が1/2aとなるような点です。x0より小さいxに関してはasin2xのほうが大きく、x0よりおおきいxに関しては sinx のほうが大きくなっています。

次にこのx0を用いて積分区間をわけて積分します。

そうすると

\large \int_0^{x_0}(a\sin 2x - \sin x)dx + \int_{x_0}^{\pi}(\sin x - a \sin 2x)dx

\large = \{-\frac{a}{2}\cos 2x + \cos x\}^{x_0}_0 +\{-\cos x + \frac{a}{2} \cos 2x\}^\pi_{x_0}

となります。但し積分の結果に関してですが、tex記法で"["や"]"を表示する方法を知らないので"{"および"}"で代用しています。ここで\cos 2x_0および\cos x_0は(1)よりそれぞれ

\cos x_0 = \frac{1}{2a}

\cos 2x_0 = 2\cos^2 x_0 -1 = \frac{1}{2a^2} -1

となる。

これらを代入すると結局

(面積)=2a + \frac{1}{2a}

となる。

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/08 18:51:02

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