a,bを定数とします。関数f(x)=ax^2+bx+cに対して定義域がx≧0のとき、f(x)の最小値はa,b>0ならば[1]でありa>0,b<0ならば[2]です。[1],[2]を埋めてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/08 19:02:35
  • 終了:2006/10/08 21:43:37

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id:pietro-apple No.1

pietro-apple回答回数129ベストアンサー獲得回数12006/10/08 19:17:00

ポイント37pt

f(x)=ax^2+bx+c

=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a

この式のグラフは下に凸で、軸は x=-b/2a

[1]

a,b>0の時、軸はx<0の範囲にあるので、最小になるのはx=0のとき。

(図を描いてみてください。)

f(0)=c

答え c

[2]

a>0 b<0の時、軸はx>0の範囲にあり、この数式のグラフは下に凸なので

最小になるのはx=-b/2aのとき。(このグラフの頂点)

f(-b/2a)=-(b^2-4ac)/4a

答え -(b^2-4ac)/4a

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/08 21:42:49

その他の回答(1件)

id:pietro-apple No.1

pietro-apple回答回数129ベストアンサー獲得回数12006/10/08 19:17:00ここでベストアンサー

ポイント37pt

f(x)=ax^2+bx+c

=a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a

この式のグラフは下に凸で、軸は x=-b/2a

[1]

a,b>0の時、軸はx<0の範囲にあるので、最小になるのはx=0のとき。

(図を描いてみてください。)

f(0)=c

答え c

[2]

a>0 b<0の時、軸はx>0の範囲にあり、この数式のグラフは下に凸なので

最小になるのはx=-b/2aのとき。(このグラフの頂点)

f(-b/2a)=-(b^2-4ac)/4a

答え -(b^2-4ac)/4a

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/08 21:42:49
id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302006/10/08 19:33:24

ポイント35pt

関数y=ax^2+bx+cは放物線です。a \gt 0ならば下に凸の放物線です。

さて、f(x)=ax^2+bx+cを変形すると

f(x)=a(x+\frac b {2a} )^2- \frac {b^2-4ac} {4a}

となります。

これは軸がx=-\frac b {2a}で頂点が(-\frac b {2a}, -\frac {b^2-4ac} {4a}) の放物線であることがわかります。

[1]

a,b \gt 0ならば-\frac b {2a} \lt 0ですから頂点はx \ge 0の範囲にはありませんのでf(x)x \ge 0の範囲で単調に増加します。

したがって最小値はf(0) = cです。

[2]

a \gt 0,b \lt 0ならば-\frac b {2a} \gt 0

ですから頂点はx \gt 0の範囲にあります。

この場合、頂点が最小値ですから最小値はf(-\frac b {2a})= -\frac {b^2-4ac} {4a}です。

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/08 21:42:27

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