x=2cost,y=sint(0≦t≦π/2)で表される曲線をCとします。そこでt=π/4における法線の式を求めて下さい。またその法線と曲線C及びx軸によって囲まれる図形の面積を求めて下さい。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/09 18:56:01
  • 終了:2006/10/10 01:09:00

ベストアンサー

id:kirche No.1

kirche回答回数7ベストアンサー獲得回数22006/10/09 21:27:42

ポイント27pt

t=π/4における接線の傾きは

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)より

  • cost/2sintとなりt=π/4では-1/2となります。

よって法線の傾きは2(法線と接線の傾きの積は-1です)

よってt=π/4のとき(x,y)=(√2,√2/2)←(点Pとします)より

y-√2/2=2(x-√2)が法線の式となります。

あとは

yをxについて2から√2まで積分します。

これは媒介変数で置き換えると

dx=-2sint*dt,y=sintとなり

  • 2sint^2の0からπ/4までのtについての積分をすることになります

解は1-√2/2

これに点Pからx軸におろした点と原点と点Pで出来る三角形の面積を足せば求める面積がでます。

(3-√2)/2が解となります。

図を書いて見ましょう。曲線名は忘れました。

今気づいたのですが、さっき回答した質問もpon-taさんだったのですね。先ほど回答した質問はθをtに勝手に置き換えました。すみません。計算結果は保証できません。高校数学はたまにとくとリハビリになるので良いですね

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/10 01:08:10

その他の回答(2件)

id:kirche No.1

kirche回答回数7ベストアンサー獲得回数22006/10/09 21:27:42ここでベストアンサー

ポイント27pt

t=π/4における接線の傾きは

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)より

  • cost/2sintとなりt=π/4では-1/2となります。

よって法線の傾きは2(法線と接線の傾きの積は-1です)

よってt=π/4のとき(x,y)=(√2,√2/2)←(点Pとします)より

y-√2/2=2(x-√2)が法線の式となります。

あとは

yをxについて2から√2まで積分します。

これは媒介変数で置き換えると

dx=-2sint*dt,y=sintとなり

  • 2sint^2の0からπ/4までのtについての積分をすることになります

解は1-√2/2

これに点Pからx軸におろした点と原点と点Pで出来る三角形の面積を足せば求める面積がでます。

(3-√2)/2が解となります。

図を書いて見ましょう。曲線名は忘れました。

今気づいたのですが、さっき回答した質問もpon-taさんだったのですね。先ほど回答した質問はθをtに勝手に置き換えました。すみません。計算結果は保証できません。高校数学はたまにとくとリハビリになるので良いですね

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/10 01:08:10
id:kekkai No.2

kekkai回答回数15ベストアンサー獲得回数32006/10/09 23:54:56

ポイント27pt

>>曲線名は忘れました。

x=2cost⇔x/2=cost

(cost)^2+(sint)^2=1より

(x/2)^2=y^2=1

∴(x^2)/4+y^2=1

となり、媒介変数で表されている曲線は楕円です。

>>計算結果は保証できません。

楕円の方程式から接線を求めるという少し遠回りな方法で法線の傾きを求めましたが同じ値になりました。

しかし、図形の面積は

(i)楕円をtについて区間[0,1]で積分したもの(OPより右側の部分)の面積

π/4-1/2

(ii)法線が楕円と交わる点をA(√2,1/√2)、x軸と交わる点をB((3√2)/4,0)としたとき、△OABの面積

{(3√2)/4}*(1/√2)*(1/2)

=3/8

求める面積は(i)-(ii)より

(π/4)-(7/8)

となり、kircheさんとは異なる値になりました。

kircheさんの解答はtについての積分によって求めた図形に関する認識に誤りがありそうだということと、積分計算の結果が違いそうだということを指摘しておきます。

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/10 01:08:23
id:kekkai No.3

kekkai回答回数15ベストアンサー獲得回数32006/10/10 00:31:29

ポイント27pt

偉そうなことを書いておきながら、私も計算ミスしていました。申し訳ございません。

積分の答えはπ/4-(√2)/4で、求める面積はπ/4-(√2)/4-3/8が正しいです。

回答受付中はコメントを受け付けていないようなので、回答欄から失礼します。

id:pon--ta

ご指摘ありがとうございます。

2006/10/10 01:07:51
  • id:kekkai
    昨日はものすごくボケていたようです。
    なかなか眠れず、布団の中で再考していたらいくつもの間違いに気付いてしまいました。・積分計算は私の最初の回答が正しく、2つ目の回答で改悪していました。
    ・積分の図形的な認識はkircheさんが正しかったです。正しい考えを批判してしまい、大変申し訳ございませんでした。
    以下、修正版です。お詫びの意をこめて、画像(手描きで恐縮です)を用意し、さらに解答欄では省略した途中計算も記します。
    <画像>http://aueu.fc2web.com/hatena.PNG
    (i)楕円をtについて区間[0,1]で積分したもの(図の斜線部)の面積
    x'yを√2から2までxについて積分
    =-2(sint)^2をπ/4から0までtについて積分
    =2(sint)^2を0からπ/4までtについて積分
    =1-cos2tを0からπ/4までtについて積分
    =π/4-1/2
    (ii)三角形ABHの面積
    BH*AH/2
    ={√2-(3√2)/4}*(1/√2)/2
    =1/8
    (i)と(ii)を足したもの(青色で囲った部分)が求める面積なので
    π/4-1/2+1/8
    =π/4-3/8
  • id:kirche
    なんといったらいいのか
    ホントすみませんでした。

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