θを媒介変数とする曲線x=θ-sinθ,y=1-cosθ(0≦θ≦2π)をCとします。また、C上の点Pにおける接線の傾きは1です。ここでPの座標を求めて下さい。次にPを通り、PにおけるCの接線に垂直な直線をLとする時、C及びx軸で囲まれる図形で、Lより下の部分の面積を求めて下さい。

回答の条件
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  • 登録:2006/10/09 19:03:24
  • 終了:2006/10/10 01:06:31

ベストアンサー

id:kirche No.1

kirche回答回数7ベストアンサー獲得回数22006/10/09 21:04:51

ポイント60pt

dx/dy=(dx/dt)/(dy/dt)より

dx/dt=1-cost,dy/dt=sintなので

sinx/(1-cost)=1…①をとく(条件は1-cost≠0)

とすると

t=π/2,3π/2と出ますが、後者は①に適しません。

よってt=π/2

よってP=(π/2-1,1)

次に面積ですが、

yをxについて0から(π/2)-1まで積分をします。

とy=1-cost,dx=(1-cost)dtなので

(1-cost)^2をtについて0からπ/2まで積分します。

その答えと(π-(π/2-1))*1/2の三角形の面積を足します。

1/2+πが答えです

余計なお世話ですが、これはサイクロイド曲線であり図にかいてやってみると良いと思います。計算結果は保証できませんので、実際にやってみてください

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/10 01:06:13

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