y=cosxのグラフと、点(0,1)と(2π,1)を結ぶ線分で囲まれた領域をAとします。領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる体積Xを求めて下さい。また、領域Aをそれぞれ直線y=0と直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積をY,Zとするとき、X,Y,Zの間の大小関係を調べてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/09 19:10:39
  • 終了:2006/10/09 22:05:33

ベストアンサー

id:jan8 No.2

jan8回答回数456ベストアンサー獲得回数962006/10/09 21:02:41

ポイント27pt

領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる体積Xは、y=cosx-1を直線y=0の周りに回転して得られる体積と等しく、

X=π∫(cosx-1)^2 dx

=π∫((cosx)^2 - 2cosx + 1)dx

=π∫{1/2(1+cos2x) - 2cosx + 1}dx

=π[x/2 + 1/2(sin2x) - 2sinx + x]

=π(π + 2π)

=3・π^2

領域Aを直線y=0の周りに回転して得られる立体の体積Yは、

Y=π∫(cosx)^2 dx

=π/2∫(1 + cos2x)dx

=π/2[x + 1/2(sin2x)]

=π/2(2π)

=π^2

領域Aを直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積Zは、Xに等しい。(説明略)

Z=3・π^2

XとZは等しく、Yの3倍である。

間違ってたらorz

id:pon--ta

重ねてご回答ありがとうございます。

2006/10/09 22:05:10

その他の回答(2件)

id:kirche No.1

kirche回答回数7ベストアンサー獲得回数22006/10/09 20:41:44

ポイント27pt

まずXですが

π(cosx-1)^2を0から2πまで積分します。

答えは3π^2

Zは形を考えるとXを真っ二つにして端と端をつなげただけの形ですのでX=Z

Yについては

半径1、長さ2πの円筒からπ(cosx)^2を0からπ/2まで積分したものを2個分引けばいいです。

計算すると(3π^2)/2となります。

よってX=Z>Yとなります。

余計なお世話かもしれませんが、数学は人に聞くより自分で考えた方がいいですよ。あと計算結果は保証できません。自分で実際にやってみてください

id:pon--ta

ご回答ありがとうございます。

2006/10/09 22:04:49
id:jan8 No.2

jan8回答回数456ベストアンサー獲得回数962006/10/09 21:02:41ここでベストアンサー

ポイント27pt

領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる体積Xは、y=cosx-1を直線y=0の周りに回転して得られる体積と等しく、

X=π∫(cosx-1)^2 dx

=π∫((cosx)^2 - 2cosx + 1)dx

=π∫{1/2(1+cos2x) - 2cosx + 1}dx

=π[x/2 + 1/2(sin2x) - 2sinx + x]

=π(π + 2π)

=3・π^2

領域Aを直線y=0の周りに回転して得られる立体の体積Yは、

Y=π∫(cosx)^2 dx

=π/2∫(1 + cos2x)dx

=π/2[x + 1/2(sin2x)]

=π/2(2π)

=π^2

領域Aを直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積Zは、Xに等しい。(説明略)

Z=3・π^2

XとZは等しく、Yの3倍である。

間違ってたらorz

id:pon--ta

重ねてご回答ありがとうございます。

2006/10/09 22:05:10
id:jan8 No.3

jan8回答回数456ベストアンサー獲得回数962006/10/09 22:00:42

ポイント26pt

間違いました。

「領域Aを回転して出来る体積」と「曲線を回転して出来る体積」を勘違いしていました。

領域Aを直線y=1の周りに回転して得られる立体Xはそのままです。

X = π∫(cosx - 1)^2 dx

= π∫(cos^2x - 2cosx + 1) dx

= π∫(1/2(1 + cos2x) - 2cosx + 1) dx

= π[x/2 + 1/4sin2x - 2sinx + x]

= 3π^2

領域Aを直線y=0の周りに回転して得られる立体Yは円柱です。

Y = π・2π = 2π^2

領域Aを直線y=-1の周りに回転して得られる立体の体積Zは、

Z = 4π・2π - π∫(cosx+1)^2 dx

= 8π^2 - π∫(cos^2x + 2cosx + 1) dx

= 8π^2 - π∫(1/2(1 + cos2x) + 2cosx + 1) dx

= 8π^2 - π[x/2 + 1/4sin2x + 2sinx + x]

= 8π^2 - 3π^2

= 5π^2

よって、Z>X>Yとなります。

  • id:Mook
    横槍ですが、
    領域AをY=0で回転したのは円柱ではないですよ。

    円柱からy=cosx (0≦x≦π/2)をx軸で回転した体積の2倍を引いたものになります。
  • id:jan8
    まだ間違っています。

    立体XとZはそのままです。
    X = π∫(cosx - 1)^2 dx
    = π∫(cos^2x - 2cosx + 1) dx
    = π∫(1/2(1 + cos2x) - 2cosx + 1) dx
    = π[x/2 + 1/4sin2x - 2sinx + x]
    = 3π^2
    Z = 4π・2π - π∫(cosx + 1)^2 dx
    = 8π^2 - π∫(cos^2x + 2cosx + 1) dx
    = 8π^2 - π∫(1/2(1 + cos2x) + 2cosx + 1) dx
    = 8π^2 - π[x/2 + 1/4sin2x + 2sinx + x]
    = 8π^2 - 3π^2
    = 5π^2
    上の2式の積分範囲は0~2πです。

    領域Aを直線y=0の周りに回転して得られる立体Yは、
    π/2~3π/2の範囲が円柱で、0~2πをあわせるとつばが付いたような形になります。下式の積分範囲は0~π/2です。
    Y = π^2 - 2π∫cos^2x dx + π^2
    = π^2 - 2π∫(cos^2x - 2cosx + 1) dx
    = π^2 - 2π∫(1/2(1 + cos2x)) dx
    = π^2 - π[x + 1/2sin2x]
    = π^2 - π^2/2
    = π^2/2
    よって、Z>X>Yとなります。
  • id:jan8
    Mook様

    その通りです。回答しなおしておきました。
    いるかをもらっておいて、間違いでは具合が悪いです。
    自身の無い回答を出してしまってすいませんでした。

    最終的な回答は、
    X = 3π^2
    Y = π^2/2
    Z = 5π^2
    よって、Z>X>Yとなります。
  • id:kirche
    Zに関して間違ってました。すみません
    円筒からXを引くんですね
    jan8さん、Yの解はπ^2を足し忘れていて
    3π^2/2だとおもうのですが
  • id:jan8
    Yが間違えています。何度もすいません。何時間も何してんだろ。

    XとYはkirche様が正しい答えです。

    X = π∫(cosx-1)^2 dx
    = 3π^2 (積分範囲0~2π)
    Y = 2π^2 - 2π∫(cosx)^2 dx
    = (3/2)π^2 (積分範囲0~π/2)
    Z = 8π^2 - π∫(cosx+1)^2 dx
    = 5π^2 (積分範囲0~2π)

    よって、Z>X>Yとなります。
  • id:jan8
    Mook様とkirche様にコメントを頂いたし、もう間違いないと思います。

    簡単そうな問題だったのですぐ解けると思いましたが、空間を想像することがなかなか出来なく、紙と鉛筆でカリカリしながらしばらく頭を抱えていました。
    初心者が首を突っ込んで間違い回答をしてしまい申し訳ありませんでした。

    Mook様の回答履歴から、数式を書く方法を勉強します。リンクとか引用とかはまぞうみたいなボタンは無いんですね。
  • id:Mook
    私も素人ですから(^^)。

    数式は、はてな記法
    http://hatenadiary.g.hatena.ne.jp/keyword/%e3%81%af%e3%81%a6%e3%81%aa%e8%a8%98%e6%b3%95%e4%b8%80%e8%a6%a7
    の中のtex 記法(Mimetex)
    http://www.forkosh.com/mimetex.html
    を使用してます。

    ちょっと面倒ですが、覚えるといろんな数式がかけるので、それらしく見えます。
  • id:jan8
    有難うございます。こんなヘルプがあるとは知りませんでした。
    Texを使っているんですか。ちょとむずいですね。
    でも、次に数式を書くときはTex使います。

    ・・・完全に脱線してますね。pon--ta様すいません。

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