1 + n^2 + n^3 + .... n^k から

(n^(k+1)-1)/(n-1)
を導き出す考え方を教えてください。
どう変形していくと、こうなるのでしょうか。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/22 14:23:33
  • 終了:2006/10/22 14:53:49

ベストアンサー

id:Mook No.1

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912006/10/22 14:41:00

ポイント60pt

こんな感じでしょうか。

S(k)=1+n+n^2+n^3+...+n^k

とすると

nS(k) - S(k)

=(n+n^2+n^3+...+n^{k+1})-(1+n+n^2+n^3+...+n^k)

=n^{k+1} - 1

(n-1)S(k) = n^{k+1} - 1

S(k) = \frac{n^{k+1} - 1 }{n-1}

ちなみに、1+n^2+... となっていますが、1+n+n^2...と解釈しました。

id:pena3

ありがとうございます。

鮮やかですね~。感動しました。

「nの1乗」が抜けていたのに補完していただいてありがとうございます。

また、こういう数式も書けるんですね、はてな記法のマニュアルを眺めてみたいと思います。

最近趣味で学生時代にちゃんとやらなかった数学の勉強をしていまして、こういった基礎がないのが何かと大変ですが、鮮やかにすぱっと納得できる快感がクセになりそうです。

2006/10/22 14:53:04

その他の回答(1件)

id:Mook No.1

Mook回答回数1312ベストアンサー獲得回数3912006/10/22 14:41:00ここでベストアンサー

ポイント60pt

こんな感じでしょうか。

S(k)=1+n+n^2+n^3+...+n^k

とすると

nS(k) - S(k)

=(n+n^2+n^3+...+n^{k+1})-(1+n+n^2+n^3+...+n^k)

=n^{k+1} - 1

(n-1)S(k) = n^{k+1} - 1

S(k) = \frac{n^{k+1} - 1 }{n-1}

ちなみに、1+n^2+... となっていますが、1+n+n^2...と解釈しました。

id:pena3

ありがとうございます。

鮮やかですね~。感動しました。

「nの1乗」が抜けていたのに補完していただいてありがとうございます。

また、こういう数式も書けるんですね、はてな記法のマニュアルを眺めてみたいと思います。

最近趣味で学生時代にちゃんとやらなかった数学の勉強をしていまして、こういった基礎がないのが何かと大変ですが、鮮やかにすぱっと納得できる快感がクセになりそうです。

2006/10/22 14:53:04
id:kosuke2020 No.2

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/10/22 14:50:13

ポイント10pt

1 + n^2 + n^3 + .... n^kに(n-1)をかけてやると、

(1 + n + n^2 + n^3 + .... n^k)×(n-1)

=1×(n-1) + n×(n-1) + n^2×(n-1) + n^3×(n-1) + .... + n^k×(n-1)

=-1 + n

  - n + n^2

  - n^2 + n^3

  ………

  - n^k + n^(k+1)

-------------------------------------

=-1 + n^(k+1)

とn~n^kび項が打ち消されるてn^(k+1)-1となります。

この結果から、

(1 + n + n^2 + n^3 + .... n^k)×(n-1) = n^(k+1)-1 の両辺からn-1を割って、

⇔1 + n + n^2 + n^3 + .... n^k = (n^(k+1)-1)/(n-1)

となります。

(質問されてた式の1とn^2の間にnが抜けていると解釈したので、nを保管した形で導きましたが、よかったでしょうか。)

  • id:pena3
    kosuke2020 さん、すいません、入れ違いで終了してしまいました。。

    一瞬、n-1とやる方法もあるのか、、、と思っていたら、(n-1)S(k) を展開すると Mookさんの回答と同じになるのですね。


    n^1 が抜けていたことで余計にお手数をおかけしてすいませんでした。
    どうもありがとうございました。
  • id:Mook
    数式は、はてな記法
    http://hatenadiary.g.hatena.ne.jp/keyword/%e3%81%af%e3%81%a6%e3%81%aa%e8%a8%98%e6%b3%95%e4%b8%80%e8%a6%a7
    の中のtex 記法(Mimetex)
    http://www.forkosh.com/mimetex.html
    を使用してます。

    御参考までに。

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