行列式の問題


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┃0 0 0 1┃=A
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┃1 0 0 0┃=A
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それぞれの固有多項式、固有値を求めなさい。
対角化可能か理由を答えなさい。

解答なくしたんでちょっとわかりません……
どなたか分かる方よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/30 18:43:39
  • 終了:2006/11/04 14:23:19

回答(1件)

id:Z9M9Z No.1

Z9M9Z回答回数343ベストアンサー獲得回数112006/10/30 20:25:28

ポイント60pt

固有値というのは、あるベクトルに行列をかけたつもりが、単なる定数倍になってしまうような、ベクトルと定数の組です。固有多項式は、固有ベクトルをx=(x1,x2,x3,x4)、固有値をeとするとAx=exで、(A-eI)x=0とも書けます。上のAで展開すると以下になります。

x2-e.x1=0; x3-e.x2=0; x4-e.x3=0; x1-e.x4=0

x2=e.x1; x3=e.x2=e^2.x1; x4=e.x3=e^3.x1; x1=e.x4=e^4.x1なので、e^4=1。よって、±1と±iの4つが固有値になります。

また、下のAで展開すると、以下になります。

x3-e.x1=0; x4-e.x2=0; x1-e.x3=0; x2-e.x4=0

固有値は、x3=e.x1=e^2.x3; x4=e.x2=e^2.x4となり、

e^2=1。よってe=±1の2つが固有値になります。

対角化というのは、対角成分しかない行列BをB=(P^-1)APのように、Aになにか両側からPをかけて作れるかという話です。これは、固有値が全部バラバラなら可能で、上は4つバラバラですのでOK、下は2つしかないのでダメとなります。詳しくはそういう教科書をどうぞ!

id:DOUYO

操作手順はわかってるんですが、そのまま解いていってもいいかわかんなかったのと、正しい解答が欲しかったので質問しました。参考にさせていただきます。ありがとうございました。

2006/11/04 14:22:44

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