確率(密度関数)の問題です。


確率変数Xは、密度関数
fx(X)=2-2X (0<X<1)
fx(X)=0 (それ以外)
…を持つ。
このとき、確率変数Y=√xの密度関数fy(Y)を求めよ。

さっぱりわかりません。詳しく教えて下さい(泣)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2006/11/17 20:34:28
  • 終了:2006/11/24 20:35:04

回答(3件)

id:kosuke2020 No.1

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/11/17 22:47:51

ポイント27pt

Xがxとx+⊿xの間にある確率と、これに相当するYがyとy+⊿yの間にある確率は等しい。

y=\sqrt{x} なのでx=0\rightar{y=0}, x=1\rightar{y=1}

x≦0,1≦xのとき fx(X)=0 なので、それに対応するy≦0,1≦yのとき fy(Y)=0

よって0<x<1に対応する0<y<1のときの確率密度を求めればよい。</p>

ここで、Xがxとx+⊿xの間にある確率をP(x<X<x+⊿x)とすると、P(x<X<x+⊿x)=P(y<Y<y+⊿y)より、</p>

{\Bigint}_{x}^{x+{\Delta~x}}fx(x')dx'={\Bigint}_{y}^{y+{\Delta~y}}fy(y')dy'

{\Delta~x},{\Delta~y\rightar~0} の極限を考えると、

fx(x)dx=fy(y)dy

fy(y)=fx(x)\frac{dx}{dy}


y=\sqrt{x} より、

x=y^2 ⇒ fx(y^2)=2-2y^2, \frac{dx}{dy}=2y

fy(y)=fx(y^2)\frac{dx}{dy}

    =(2-2y^2)(2y)

    =4y-4y^3 (終)

id:garireon

「x≦0,1≦xのとき fx(X)=0 なので、それに対応するy≦0,1≦yのとき fy(Y)=0

よって0<x<1に対応する0<y<1のときの確率密度を求めればよい」</p>

の部分がよく理解できません。

さらにわかりやすく説明していただけると幸いです。

2006/11/17 22:57:42
id:kosuke2020 No.2

kosuke2020回答回数73ベストアンサー獲得回数82006/11/18 08:12:19

ポイント27pt

その部分の答え方おかしかったですね。

fy(Y)=4Y-4Y^3 (0<Y<1)</p>

fy(Y)=0 (それ以外)

と答えるべきでした。

変数を変換する上で、「Xがxとx+⊿xの間にある確率と、これに相当するYがyとy+⊿yの間にある確率は等しい」という条件が成り立つのが前提となってます。

X≦0に対応するYの範囲はY≦0、X≧1に対応するYの範囲はY≧1なので、P(X≦0,1≦X)=P(Y≦0,1≦Y)

X≦0,1≦Xのときのfx(X)は0 ⇒ P(X≦0,1≦X)=0 ⇒ P(Y≦0,1≦Y)=0 ⇒ ∴ Y≦0,1≦Yのときのtv(Y)は0

ということですね。

id:endeavor No.3

すまーとぼーい回答回数78ベストアンサー獲得回数12006/11/18 22:50:20

ポイント26pt

kosuke2020さんの回答に対するレスに対する回答です。

まず x=0 の時 y=√0=0、x=1 の時 y=√1=1 ですよね。

このことを考慮すると 0<x<1 の時 y がとりうる範囲は 0<y<1 です。

そして「 0<x<1 じゃない時」つまり「x≦0,1≦xのとき」は fx(X)は常にゼロなので、それに対応する「 0<y<1 じゃない時」つまり「y≦0,1≦yのとき」は fy(Y)=0 ということになります。

後はkosuke2020さんの言うとおり0<x<1に対応する0<y<1のときの確率密度を求めればよいということになります。</p>

  • id:kosuke2020
    間違いがあったので一つ。

    y=√xだったので、x≧0,y≧0の範囲で答えなければいけませんでした。回答の
    [tex:fy(Y)=4Y-4Y^3] (0<Y<1)
    [tex:fy(Y)=0] (それ以外)
    はあってますが、途中の説明のなかででてきた(X≦0,1≦X)、(Y≦0,1≦Y)等の範囲を(X=0,1≦X)、(Y=0,1≦Y)に訂正しておいてください。すいませんでした。

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