x=y^2をyで微分した答えが、なぜdx/dy=2yとなるのかよく理解できません。

サルにでもわかるように説明できる方、お教えいただけないでしょうか!
途中式や公式などを交えて教えて下さい。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2006/11/20 04:58:13
  • 終了:2006/11/27 05:00:04

回答(4件)

id:yo-kun No.1

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302006/11/20 05:36:16

ポイント27pt

サルにでもわかるような説明かどうかはわかりませんが…


この場合xは従属変数yの関数と考えられますので便宜上x(y)=y^2と書くことにします。

まず微分の定義を確認しておきます。

\frac {dx} {dy} = \lim_{h\to0} \frac {x(y+h)-x(y)} {h}

また、

x(y)=y^2

なので

x(y+h)=(y+h)^2

であることも確認しておきます。


微分の定義に従って計算していくと

\begin{eqnarray}\frac {dx}{dy}&=&\lim_{h\to0}\frac {x(y+h)-x(y)} h\\&=&\lim_{h\to0}\frac {(y+h)^2-y^2} h\\&=&\lim_{h\to0}\frac {y^2+2hy+h^2-y^2}h\\&=&\lim_{h\to0}\frac {2hy+h^2}h\\&=&\lim_{h\to0}(2y+h)\\&=&2y\end{eqnarray}

となります。


できるだけ詳しく書いてみましたがどうでしょうか?

id:arhbwastrh No.2

arhbwastrh回答回数447ベストアンサー獲得回数232006/11/20 07:12:09

ポイント27pt

自分で説明を書かず大変恐縮ですが・・

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/

このサイトの微分1を読んでみて下さい。非常に分かりやすいです。

id:garyo No.3

garyo回答回数1782ベストアンサー獲得回数962006/11/20 09:07:38

ポイント26pt

□□□□■

□□□□■

□□□□■

□□□□■

■■■■■

x^2は辺の長さがxの正方形の面積にあたりますね。

dx/dyは辺の長さをちょっと増やした時にどのくらい増えるかを

意味します。

□□□□

□□□□

□□□□

□□□□

↑これが元の正方形で

↓これが増えた分です。

■■■■

かどっこの分(■)を小さいから無視すると

たて(x)+よこ(x)=2x になりますよね。

id:kitatch No.4

kitatch回答回数7ベストアンサー獲得回数02006/11/25 22:51:34

ポイント10pt

xのyについての微分dx/dyというのは、

yをほんのちょっとだけ(dy)変化させたときの

xの変化量(dx)の割合はどれだけになるん?

ということを示していると思います。

かんたんに言うと「傾き」みたいなものです。


たとえば、x=2yのとき、横にy軸、縦にx軸を

とってグラフを書くと、傾き2の直線になりますよね?

このとき、たとえばy=1から1.001へちょっとだけ変化させたとき、

xは2から2.002へ変化します。

このときのyの変化量をΔyとして、xの変化量をΔxとします。

この割合Δx/Δyは、

Δx/Δy = (2.002 - 2)/(1.001 - 1)=2

となります。

実はこれは、y=1から1.001までの間の直線の傾きを計算してることになります。

この場合のΔyをどんどんどんどん小さくして

いったときにΔx/Δyはdx/dyとなり、

x=2yという直線のy=1のときの傾きを計算して

いることになります。

(もっと言うと、y=1のところに引いた接線の

傾きを計算していることになります。)

x=2yという直線の場合はy=1のときでも、

y=2のときでもdx/dyは2で変わらないですよね?

だから、x=2yのときはdy/dx = 2とすることができます。



次に問題のx=y^2について考えてみます。

おなじように横軸にy軸、縦にx軸をとって

グラフを書いてみると、二次曲線になります。

この場合は、yをちょっとだけ増やしたときのx

の増え方の割合(つまり二次曲線の傾き)は、

y=1のときとy=2では違うことが分かると思います。

つまり、y=1のところに引いた接線の傾きと、y=2のところに引いた接線の傾きとは違うということです。

実際に作図すると、

接線の傾きは

y=0のところでは0,

y=1のところでは2、

y=2のところでは4

となって、結局

(接線の傾き)= dx/dy = 2y

という関係があることになります。

この場合は、dx/dyを表す式の中に

yが入っているので、dx/dyの値はそれぞれの

yの値によって変わるということが、直線の場合と

違うところです。



日常の世界で微分を体験するなら、たとえばエレベータが動いているとき、私たちはエレベータの速度の時間に対する微分の大きさに比例する力を速度の逆の向きに受けてます。

上昇速度が大きくなっていくときは下にググっと

押さえつけられる感じがしますが、速度が一定になってくるとスーッと軽くなりますよね?

逆に下降速度が大きくなっているときはフワッっと浮くような力を感じるはずです。

これらの力の大きさも時間によって刻々と変わる、というのを感じてもらえるとありがたいです。


問題のxをエレベータ上昇速度、yを時間とすると、

x=y^2のスピードでどんどんどんどん早くなってゆくエレベータを表していることになります。

(実際あったら怖いですが。)

あなたはその中でどのような力を受けると思いますか?

たぶん、どんどんどんどん押さえつけられてゆくと

思います。

こんど乗るときに体感してみてください。

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